Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 4
In questo esercizio bisogna determinare l'interno (Int(A)Int(A)) e la chiusura (Cl(A)) dell'insieme A={a,b} in X={a,b,c} con la topologia {X,∅,{a},{a,b}}, procedo come segue:
Interno dell'insieme A
L'interno di A={a,b} è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in A.
Gli insiemi aperti in questa topologia sono X, ∅, {a} e {a,b}.
Quindi, gli insiemi aperti contenuti in A={a,b} sono:
{a}
{a,b}
L'unione di questi insiemi è {a,b}.
Int(A)={a}∪{a,b}{a,b}
Pertanto, l'interno di A={a,b} è sempre l'insieme {a,b} perché è aperto.
Int(A)={a,b}
Chiusura dell'insieme A
La chiusura di A è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono A.
Dove gli insiemi chiusi sono i complementi degli insiemi aperti.
Sapendo che in questa topologia gli insiemi aperti sono X, ∅, {a} e {a,b}, quindi gli insiemi chiusi sono:
Xc=∅
∅c=X
{a}c={b,c}
{a,b}c={c}
Solo l'insieme chiuso X={a,b,c} contiene l'insieme A=(a,b).
Quindi, la chiusura di A è l'insieme X
Cl(A)=X={a,b,c}
E così via
