Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 4

In questo esercizio bisogna determinare l'interno (\(\text{Int}(A)\)) e la chiusura (\(\text{Cl}(A)\)) dell'insieme \(A = \{a, b\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\), procedo come segue:

Interno dell'insieme A

L'interno di \(A = \{a,b\} \) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(A\).

Gli insiemi aperti in questa topologia sono \(X\), \(\emptyset\), \(\{a\}\) e \(\{a, b\}\).

Quindi, gli insiemi aperti contenuti in \(A = \{a, b\}\) sono:

$$ \{a\} $$

$$ \{a, b\} $$

L'unione di questi insiemi è \(\{a, b\}\).

$$ \text{Int}(A) = \{a\} \cup \{a,b\} \{a, b\} $$

Pertanto, l'interno di A={a,b} è sempre l'insieme {a,b} perché è aperto.

$$ \text{Int}(A) = \{a, b\} $$

Chiusura dell'insieme A

La chiusura di \(A\) è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono \(A\).

Dove gli insiemi chiusi sono i complementi degli insiemi aperti.

Sapendo che in questa topologia gli insiemi aperti sono \(X\), \(\emptyset\), \(\{a\}\) e \(\{a, b\}\), quindi gli insiemi chiusi sono:

$$ X^c = \emptyset $$

$$ \emptyset^c = X $$

$$ \{a\}^c = \{b,c \} $$

$$ \{a,b\}^c = \{c \} $$

Solo l'insieme chiuso X={a,b,c} contiene l'insieme A=(a,b).

Quindi, la chiusura di A è l'insieme X

$$ \text{Cl}(A) = X = \{a, b, c\} $$

E così via