Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 2

In questo esercizio devo determinare correttamente l'interno \(\text{Int}(A)\) e la chiusura \(\text{Cl}(A)\) dell'insieme \(A = \{a, c\}\) nello spazio \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).

Gli insiemi aperti secondo la topologia

La topologia su \(X\) è \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\). Quindi, gli insiemi aperti sono:

$$ X = \{a, b, c\} $$

$$ \emptyset $$

$$ \{a\} $$

$$  \{a, b\} $$

Interno di \(A\) (\(\text{Int}(A)\))

L'interno di A è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in A.

Gli insiemi aperti contenuti in A = {a, c} devono essere sottoinsiemi aperti di A.

Gli insiemi aperti che posso considerare sono \(\emptyset\) e \(\{a\}\), poiché \(\{a, b\}\) non è contenuto in \(A\). Quindi:

$$ \text{Int}(A) = \{a\} \cup \emptyset = \{a\} $$

L'interno di A={a} è l'insieme {a} stesso.

Chiusura di \(A\) (\(\text{Cl}(A)\))

La chiusura di A è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono A.

Un insieme chiuso è il complemento di un insieme aperto. Quindi, gli insiemi chiusi sono:

$$ X^c = \emptyset $$

$$ \emptyset^c = X = \{a, b, c\} $$

$$ \{a\}^c = \{b, c\} $$

$$ \{a, b\}^c = \{c\} $$

Gli insiemi chiusi che contengono {a, c} sono solo l'insieme totale X, cioè {a, b, c}, poiché nessun altro insieme chiuso contiene entrambi gli elementi \(a\) e \(c\).

Quindi, la chiusura dell'insieme A è l'insieme totale X={a,b,c}

\[ \text{Cl}(A) = \{a, b, c\} \]

E così via.