Esercizio sull'interno e la chiusura di un insieme in topologia 1

In questo esercizio devo determinare l'interno \( \text{Int}(A) \) e la chiusura \( \text{Cl}(A) \) dell'insieme \(A = \{a\}\) in \(X = \{a, b, c\}\) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).

Interno dell'insieme A

L'interno di A è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in A.

Gli insiemi aperti nella topologia data sono:

$$ \emptyset $$

$$ \{a\} $$

$$ \{a, b\} $$

$$ X $$

Gli insiemi aperti contenuti in A sono l'insieme vuoto Ø  e {a} stesso.

$$ \text{Int}(A) = \emptyset \cup \{a\} = \{a\} $$

Quindi l'interno di A è:

\[ \text{Int}(A) = \{a\} \]

Chiusura dell'insieme A

La chiusura di A è l'intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono A.

Gli insiemi chiusi sono i complementi degli insiemi aperti.

Gli insiemi chiusi quindi sono:

$$ X^c = \emptyset $$

$$ \{a\}^c =  \{b, c\} $$

$$ \{a,b\}^c = \{c\} $$

$$  \emptyset^c = X $$

L'insieme chiuso più piccolo che contiene A={a} è solo X={a,b,c}, dato che nessuno degli altri insiemi chiusi contiene (a). Quindi, la chiusura di A è:

\[ \text{Cl}(A) = X = \{a, b, c\} \]

E così via.