Esercizio sui punti di accumulazione in topologia 4

In questo esercizio devo trovare l'insieme dei punti di accumulazione di $A = (-1, 1) \cup \{2\}$ nella topologia standard su $X=\mathbb{R}$.

Nella topologia standard su $\mathbb{R}$, gli insiemi aperti sono le unioni di intervalli aperti.

Per trovare i punti di accumulazione dell'insieme $A = (-1, 1) \cup \{2\}$ devo verificare quali punti $x$ di $\mathbb{R}$ hanno un intorno che contiene almeno un punto di $A$ diverso da $x$.

• Intervallo $(-1, 1)$
  Considero un punto $x \in (-1, 1)$. Ogni intorno aperto di $x$ in $\mathbb{R}$ è della forma $(x - \epsilon, x + \epsilon)$ con $\epsilon > 0$ e contiene sempre altri punti di $(-1, 1)$ diversi da $x$. Quindi, ogni punto $x \in (-1, 1)$ è un punto limite di $A$.
• Punto $2$
  Consideriamo il punto $2$. Ogni intorno aperto di $2$ in $\mathbb{R}$ è della forma $(2 - \epsilon, 2 + \epsilon)$ con $\epsilon > 0$. L'intervallo $(2 - \epsilon, 2 + \epsilon)$ con $\epsilon$ sufficientemente piccolo non contiene nessun altro punto di $A$ perché $\{2\}$ è un punto isolato. Quindi, $2$ non è un punto limite di $A$.
• Confini dell'intervallo $(-1, 1)$
  Considero i punti $-1$ e $1$.  Ogni intorno aperto di $-1$ ha la forma $(-1 - \epsilon, -1 + \epsilon)$ e contiene punti di $A= (-1, 1)$, quindi $-1$ è un punto limite di $A$. Ogni intorno aperto di $1$ ha la forma $(1 - \epsilon, 1 + \epsilon)$ e contiene altri punti di $A=(-1, 1)$, quindi anche $1$ è un punto limite di $A$.
• Punti esterni a $[-1, 1] \cup \{2\}$:
  Considero un punto $x \notin (-1, 1) \cup \{2\}$.
  - Se $x < -1$ o $x > 2$, esiste un intorno di $x$ che non interseca $A$, quindi $x$ non può essere un punto limite di $A$.
  - Se $1 < x < 2$, ogni intorno di $x$ non conterrà $2$ né alcun punto di $(-1, 1)$.

In conclusione i punti limite di $A = (-1, 1) \cup \{2\}$ nella topologia standard su $\mathbb{R}$ sono tutti i punti dell'intervallo chiuso $[-1, 1]$.

Quindi, l'insieme dei punti limite di $A$ è $[-1, 1]$.

E così via