Esercizio sui punti di accumulazione in topologia 4

In questo esercizio devo trovare l'insieme dei punti di accumulazione di \( A = (-1, 1) \cup \{2\} \) nella topologia standard su \(X=\mathbb{R}\).

Nella topologia standard su \(\mathbb{R}\), gli insiemi aperti sono le unioni di intervalli aperti.

Per trovare i punti di accumulazione dell'insieme \( A = (-1, 1) \cup \{2\} \) devo verificare quali punti \( x \) di \( \mathbb{R} \) hanno un intorno che contiene almeno un punto di \( A \) diverso da \( x \).

• Intervallo \((-1, 1)\)
  Considero un punto \( x \in (-1, 1) \). Ogni intorno aperto di \( x \) in \(\mathbb{R}\) è della forma \((x - \epsilon, x + \epsilon)\) con \(\epsilon > 0\) e contiene sempre altri punti di \((-1, 1)\) diversi da \( x \). Quindi, ogni punto \( x \in (-1, 1) \) è un punto limite di \( A \).
• Punto \( 2 \)
  Consideriamo il punto \( 2 \). Ogni intorno aperto di \( 2 \) in \(\mathbb{R}\) è della forma \((2 - \epsilon, 2 + \epsilon)\) con \(\epsilon > 0\). L'intervallo \((2 - \epsilon, 2 + \epsilon)\) con \(\epsilon\) sufficientemente piccolo non contiene nessun altro punto di \( A \) perché \(\{2\}\) è un punto isolato. Quindi, \( 2 \) non è un punto limite di \( A \).
• Confini dell'intervallo \((-1, 1)\)
  Considero i punti \( -1 \) e \( 1 \).  Ogni intorno aperto di \( -1 \) ha la forma \((-1 - \epsilon, -1 + \epsilon)\) e contiene punti di \( A= (-1, 1) \), quindi \( -1 \) è un punto limite di \( A \). Ogni intorno aperto di \( 1 \) ha la forma \((1 - \epsilon, 1 + \epsilon)\) e contiene altri punti di \( A=(-1, 1) \), quindi anche \( 1 \) è un punto limite di \( A \).
• Punti esterni a \([-1, 1] \cup \{2\}\):
  Considero un punto \( x \notin (-1, 1) \cup \{2\} \).
  - Se \( x < -1 \) o \( x > 2 \), esiste un intorno di \( x \) che non interseca \( A \), quindi \( x \) non può essere un punto limite di \( A \).
  - Se \( 1 < x < 2 \), ogni intorno di \( x \) non conterrà \( 2 \) né alcun punto di \((-1, 1)\).

In conclusione i punti limite di \( A = (-1, 1) \cup \{2\} \) nella topologia standard su \(\mathbb{R}\) sono tutti i punti dell'intervallo chiuso \([-1, 1]\).

Quindi, l'insieme dei punti limite di \( A \) è \([-1, 1]\).

E così via