Esercizio sui punti di accumulazione in topologia 2
In questo esercizio devo determinare l'insieme dei punti limite di \( A = \{a, c\} \) nello spazio \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\).
Un punto \( x \) è un punto limite di un insieme \( A \) se ogni intorno di \( x \) contiene almeno un punto di \( A \) diverso da \( x \).
La topologia su \( X = \{a, b, c\} \) è \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\). Quindi, gli insiemi aperti sono:
- \( \emptyset \)
- \( \{a\} \)
- \( \{a, b\} \)
- \( X \) (cioè \( \{a, b, c\} \))
Per trovare i punti di accumulazione di \( A = \{a, c\} \) devo analizzare ogni singolo punto x nello spazio \( X = \{a, b, c\} \) e verificare se contiene almeno un punto di A diverso da x.
- Punto \( a \)
Gli intorni di \( a \) sono \(\{a\}\), \(\{a, b\}\), e \( X \).- \(\{a\}\) contiene solo \( a \) e non altri punti di \( A \). Tuttavia x=a non conta perché l'intorno deve contenere almeno un punto di A diverso da x.
- \(\{a, b\}\) non contiene \( c \), quindi non soddisfa la condizione.
- \( X \) contiene \( c \), quindi è l'unico intorno che soddisfa la condizione ma non basta, perché per essere un punto di accumulazione ogni intorno di \( a \) deve contenere un punto di .
- Punto \( b \)
Gli intorni di \( b \) sono \(\{a, b\}\) e \( X \).- \(\{a, b\}\) contiene \( a \), che è in \( A \). Quindi soddisfa la condizione.
- \( X \) contiene sia \( a \) che \( c \), entrambi in \( A \). Anche questo intorno soddisfa la condizione.
- Punto \( c \)
Il punto \( c \) ha un solo intorno \( X \).- \( X \) contiene \( a \), che è in \( A \). Quindi, soddisfa la condizione.
I punti limite di \( A = \{a, c\} \) nello spazio \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \(\{X, \emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}\) sono i punti \( b \) e \( c \).
Quindi, l'insieme dei punti limite di \( A \) è \(\{b, c\}\).
