Esercizio sui punti di accumulazione in topologia 1

In questo esercizio devo determinare i punti di accumulazione (punti limite) dell'insieme A={a} nello spazio topologico X={a,b,c} con la topologia {X, Ø, {a}, {a,b}}.

L'insieme da analizzare ha un solo punto {a}

$$ A = \{ a \} $$

Gli insiemi aperti definiti dalla topologia sono i seguenti

$$ \{ \ X , \emptyset, \{ a \} , \{a,b \} \ \} $$

Dove X={a,b,c} è l'intero insieme dello spazio topologico che
contiene l'insieme A.

$$ \{ \ \{a,b,c \} , \emptyset, \{ a \} , \{a,b \} \ \} $$

Per trovare i punti di accumulazione di A nello spazio X, devo trovare i punti x di X che in ogni intorno contengono almeno un punto di A diverso da x

Analizzo i singoli punti dello spazio X={a,b,c}

• x={a}
  Il punto x={a} si trova negli insiemi aperti {a,b,c}, {a} e {a,b}. Tutti gli intorni del punto {a} contengono almeno un elemento di A={a} ma non è diverso da x={a}. Quindi, il punto x={a} non è un punto di accumulazione di A
• x={b}
  Il punto x={b} si trova negli insiemi aperti {a,b,c} e {a,b}. Tutti gli intorni del punto {b} contengono almeno un elemento di A={a} diverso da x={b}. Quindi, il punto x={b} è un punto di accumulazione di A
• x={c}
  Il punto x={c} si trova soltanto nell'insieme aperto {a,b,c} Anche in questo caso tutti gli intorni del punto {c} contengono almeno un elemento di A={a} diverso da x={c}. Quindi, il punto x={c} è un punto di accumulazione di A

In conclusione, i punti {b} e {c} sono due punti di accumulazione dell'insieme A={a} nello spazio X={a,b,c} con la topologia indicata.

E così via.