L'integrale di una potenza di x

L'integrale di una potenza di \(x\) si calcola aggiungendo 1 all'esponente della potenza e dividendo per il nuovo esponente. La formula generale è $$ \int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c $$ dove \(\alpha\) è un numero reale diverso da \(-1\), mentre \(c\) è una costante arbitraria, detta costante di integrazione.

Questa regola mi permette di trovare una primitiva delle funzioni della forma \(f(x)=x^\alpha\), purché l'esponente \(\alpha\) della funzione sia diverso da \(-1\).

La formula è valida per \(x>0\) con qualsiasi esponente reale ammesso.

Nota. La regola di integrazione delle potenze è uno degli strumenti fondamentali del calcolo integrale. E' una delle prime regole da imparare a usare, secondo me, perché permette di determinare direttamente le primitive di numerose funzioni elementari e rappresenta il punto di partenza per affrontare integrali più complessi.

Come si applica la regola

Per comprendere meglio il procedimento, considero l'integrale della funzione \(f(x)=x^2\).

$$ \int x^2\,dx $$

In questo caso l'esponente della potenza è 2. Per calcolare l'integrale, aumento l'esponente di una unità, ottenendo 3, e divido la potenza per questo nuovo valore.

Ottengo quindi

$$ \int x^2\,dx=\frac{x^{2+1}}{2+1}+c=\frac{x^3}{3}+c $$

Ovviamente, aggiungo anche una generica costante reale $ c $ per rappresentare l'intera famiglia delle primitive.

Perché questa regola funziona?

Un integrale indefinito può essere visto come l'operazione inversa della derivazione. Posso quindi verificare il risultato calcolando la derivata della funzione ottenuta. In questo caso è la derivata di una potenza.

$$ D\left(\frac{x^3}{3}+c\right)=\frac{3x^2}{3}=x^2 $$

La derivata restituisce proprio la funzione integranda di partenza \(x^2\). Questo conferma che il risultato dell'integrazione è corretto.

Alcuni casi particolari

La stessa regola può essere applicata anche quando l'esponente della potenza non è scritto esplicitamente oppure è una frazione.

L'integrale di x

Considero l'integrale della funzione \(f(x)=x\).

$$ \int x\,dx $$

In questo caso l'esponente è 1, perché posso scrivere \(x=x^1\).

Aumento l'esponente di una unità e divido per il nuovo esponente. Ottengo

$$ \int x\,dx=\frac{x^2}{2}+c $$

L'integrale di una costante

Considero ora l'integrale della funzione costante \(f(x)=1\).

$$ \int 1\,dx $$

Posso scrivere la funzione come \(x^0=1\), per \(x\neq0\), e applicare la stessa regola.

$$ \int x^0\,dx=\frac{x^{0+1}}{0+1}+c = \frac{x^1}{1}+c = x+c $$

Quindi, l'integrale della funzione costante \(f(x)=1\) è

$$ \int 1\,dx=x+c $$

Il risultato è valido anche per \(x=0\), perché la derivata di \(x+c\) è sempre uguale a 1.

L'integrale di una costante diversa da 1

Se la costante è diversa da 1, ad esempio 5, il procedimento è molto simile.

Considero l'integrale della funzione costante \(f(x)=5\).

$$ \int 5\,dx $$

Posso scrivere il numero 5 come \(5\cdot x^0\), perché \(x^0=1\) per \(x\neq0\).

$$ \int 5x^0\,dx $$

Grazie alla proprietà di linearità dell'integrale, posso portare la costante 5 fuori dal simbolo di integrazione.

$$ 5\int x^0\,dx $$

A questo punto applico la regola di integrazione delle potenze.

$$  5\int x^0\,dx  =5\cdot\frac{x^{0+1}}{0+1}+c =5x+c $$

Quindi, l'integrale della funzione costante \(f(x)=5\) è

$$ \int 5\,dx=5x+c $$

Il risultato è valido su tutto \(\mathbb{R}\), compreso \(x=0\).

In generale, l'integrale di una qualsiasi funzione costante \(f(x)=k\), con \(k\in\mathbb{R}\), è

$$ \int k\,dx=kx+c $$

Questo accade perché la derivata di \(kx+c\) è sempre uguale a \(k\).

L'integrale della radice quadrata di x

Considero l'integrale della funzione \(f(x)=\sqrt{x}\).

$$ \int\sqrt{x}\,dx $$

Per applicare la regola devo prima trasformare la radice quadrata in una potenza con esponente frazionario.

Ricordo infatti che

$$ \sqrt{x}=x^{1/2} $$

Posso quindi riscrivere l'integrale nella forma

$$ \int x^{1/2}\,dx $$

A questo punto aumento l'esponente di una unità.

$$ \frac12+1=\frac32 $$

Divido quindi la potenza per il nuovo esponente.

$$ \int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}+c $$

Poiché dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco, ottengo

$$ \int\sqrt{x}\,dx=\frac23x^{3/2}+c $$

Infine, esprimo il risultato utilizzando i radicali sapendo che $ x^{3/2}=\sqrt{x^3} $.

$$ \int\sqrt{x}\,dx=\frac23\sqrt{x^3}+c $$

Le due espressioni sono equivalenti per \(x\geq0\).

Il caso dell'esponente -1

La regola generale presenta un'eccezione quando l'esponente della potenza è uguale a \(-1\).

Considero, ad esempio, l'integrale

$$ \int x^{-1}\,dx=\int\frac1x\,dx $$

Se provassi ad applicare la regola precedente, il denominatore diventerebbe

$$ -1+1=0 $$

Poiché la divisione per zero non è definita, non posso utilizzare la formula generale.

In questo caso devo ricorrere a una regola diversa per calcolare l'integrale.

$$ \int\frac1x\,dx=\ln|x|+c $$

Il risultato è il logaritmo naturale del valore assoluto di \(x\), a cui si aggiunge la costante di integrazione. La formula vale negli intervalli in cui \(x\neq0\).

L'integrazione dei polinomi

Una delle applicazioni più importanti della regola riguarda il calcolo degli integrali delle funzioni polinomiali.

Un polinomio è formato da una somma di termini contenenti potenze di \(x\). Grazie alla proprietà di linearità dell'integrale, posso integrare separatamente ciascun termine e sommare i risultati.

Considero, ad esempio, il polinomio

$$ f(x)=3x^2+2x+5 $$

Il suo integrale è

$$ \int(3x^2+2x+5)\,dx $$

Separo i termini.

$$ \int(3x^2+2x+5)\,dx=3\int x^2\,dx+2\int x\,dx+5\int 1\,dx $$

Applico la regola delle potenze a ciascun integrale.

$$ \int(3x^2+2x+5)\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}+5x+c $$

Semplificando ottengo

$$ \int(3x^2+2x+5)\,dx=x^3+x^2+5x+c $$

In questo modo posso calcolare l'integrale indefinito di qualsiasi polinomio, applicando la regola delle potenze ai singoli termini.

Dimostrazione della formula

Per dimostrare la formula di integrazione delle potenze, parto dalla regola di derivazione di una potenza:

$$ D(x^n)=nx^{n-1} $$

Poiché l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, cerco una funzione la cui derivata sia \(x^\alpha\).

Considero la funzione

$$ F(x)=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} $$

Calcolo la sua derivata applicando la regola delle potenze:

$$ F'(x)=\frac{1}{\alpha+1}\cdot(\alpha+1)x^\alpha $$

Semplificando ottengo

$$ F'(x)=x^\alpha $$

Ho quindi verificato che \(F(x)\) è una primitiva di \(x^\alpha\). Aggiungendo la costante arbitraria \(c\), ottengo la formula generale:

$$ \int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c $$

La dimostrazione è valida per \(\alpha\neq-1\) e, nel caso di un esponente reale qualsiasi, per \(x>0\).

E così via.