Integrazione per sostituzione
Data una funzione continua f(x) e una funzione derivabile g(x) con derivata continua, risulta $$ \int f(x) \: dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$ con x=g(t).
A cosa serve?
L'integrazione per sostituzione è una formula per calcolare gli integrali indefiniti.
Ci sono due possibili metodi di sostituzione
La formula si può usare in un verso oppure nell'altro.
- Primo metodo. Si sostituisce la variabile x con la funzione g(t) e il differenziale dx con g'(t)dt. La funzione f() è la stessa ma cambia il dominio.
- Secondo metodo. In questo caso la funzione integranda è una funzione composta del tipo f(g(x))·g'(x). Si sostituiscono le funzioni g(x) e g'(x) con la variabile t e il differenziale dt.
Quale metodo scegliere? Dipende dalla funzione integranda. A volte conviene il primo metodo, altre volte il secondo. Non c'è una regola generale. L'unica regola è fare molta pratica con gli esercizi.
Un esercizio di esempio
Esempio 1
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{ \sin \sqrt{x} }{\sqrt{x}} \: dx $$
Applico il primo metodo dell'integrazione per sostituzione.
L'elemento più ostico dell'integrale è √x.
Per semplificare il calcolo assegno t=√x e ricavo la x e la dx
$$ t = \sqrt{x} $$
$$ x = t^2 $$
$$ dx = D[t^2] \: dt = 2t \: dt $$
Poi applico la formula di integrazione per sostituzione
$$ \int f(x) \: dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$
$$ \int \frac{ \sin \sqrt{x} }{\sqrt{x}} \: dx = \int \frac{ \sin \sqrt{t^2} }{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \:dt $$
$$ = \int \frac{ \sin t }{t} \cdot 2t \:dt $$
$$ = \int \sin t \cdot 2 \:dt $$
$$ = 2 \cdot \int \sin t \:dt $$
$$ = 2 \cdot ( - \cos t ) + c $$
$$ = 2 \cdot ( - \cos \sqrt{x} ) + c $$
Esempio 2
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \cos x \cdot \sin ( \sin x ) dx $$
In questo caso la funzione integranda è il prodotto tra una funzione cos(x) e una funzione composta sin(sin x).
La funzione cos(x) è la derivata del dominio della funzione composta sin(sin x).
Quindi, mi conviene usare il secondo metodo.
Scelgo di sostituire sin x con t
$$ t = \sin x $$
$$ dt = \cos x \: dx $$
Sostituisco t a sin x e dt a cos x dx
$$ \int \cos x \cdot \sin ( \sin x ) dx $$
$$ \int \sin ( t ) \: dt $$
In questo modo ottengo un integrale più facile da risolvere.
$$ \int \sin ( t ) \: dt = - \cos t + c $$
Sapendo che t=sin x
$$ - \cos t + c $$
$$ - \cos ( \sin x ) + c $$
Quindi, il risultato dell'integrale è
$$ \int \cos x \cdot \sin ( \sin x ) \: dx = - \cos ( \sin x ) + c $$
Esempio 3
Devo risolvere questo integrale
$$ \int \frac{1}{\sqrt(x) - 3} \: dx $$
In questo caso scelgo di applicare il primo metodo dell'integrazione per sostituzione.
Sostituisco la variabile x con la funzione g(t)=t2
$$ x=g(t)=t^2 $$
Poi applico la formula di integrazione per sostituzione
$$ \int f(x) \: dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$
$$ \int \frac{1}{\sqrt(x) - 3} \: dx = \int \frac{1}{\sqrt(t^2) - 3} \cdot D[t^2] \:dt $$
$$ = \int \frac{1}{t - 3} \cdot 2t \:dt $$
$$ = 2 \cdot \int \frac{t}{t - 3} \:dt $$
Aggiungo al numeratore +3 e -3
$$ = 2 \cdot \int \frac{t + 3 - 3}{t - 3} \:dt $$
Poi applico la proprietà lineare per suddividere l'integrale in una somma di integrali
$$ = 2 \cdot [ \int \frac{t - 3}{t - 3} \:dt + \int \frac{3}{t - 3} \:dt ]$$
$$ = 2 \cdot [ \int 1 \:dt + 3 \cdot \int \frac{1}{t - 3} \:dt ]$$
Ora ho due integrali elementari.
Il primo integrale è t perché la primitiva di 1 è t.
$$ = 2 \cdot [ t + 3 \cdot \int \frac{1}{t - 3} \:dt ] + c $$
La primitiva del secondo integrale è il logaritmo del valore assoluto |t-3|.
$$ = 2 \cdot [ t + 3 \cdot \log |t-3| ] + c $$
$$ = 2t + 6 \cdot \log |t-3| + c $$
A questo punto sostituisco la variabile t con la x sapendo che x=t2
$$ t=\sqrt{x} $$
Quindi
$$ = 2t + 6 \cdot \log |t-3| + c $$
$$ = 2 \sqrt{x} + 6 \cdot \log | \sqrt{x} - 3| + c $$
Ho così trovato la soluzione dell'integrale indefinito tramite l'integrazione per sostituzione.
$$ \int \frac{1}{\sqrt(x) - 3} \: dx = 2 \sqrt{x} + 6 \cdot \log | \sqrt{x} - 3| + c $$
Dimostrazione e spiegazione
L'integrazione per sostituzione si basa sulla regola di derivazione delle funzioni composte.
$$ D[F[g(t)] = F'[g(t)] \cdot g'(t) $$
Metto sotto integrale entrambi i membri
$$ \int D[F(g(t)] \: dt = \int F'[g(t)] \cdot g'(t) \: dt $$
L'integrale e la derivata al primo membro dell'equazione si annullano
$$ F(g(t)) = \int F'[g(t)] \cdot g'(t) \:dt $$
Sapendo che F(g(t)) è la primitiva di f(g(t)) allora F'(g(t))=f(g(t))
$$ F(g(t)) = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$
e F(g(t))=∫f(g(t))dt
$$ \int f(g(t)) \: dt = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$
Sapendo che x=g(t) modifico il primo membro e diventa
$$ \int f(x) \: dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$
E così via