La proprietà additiva degli integrali definiti
Se la funzione f(x) è integrabile in un intervallo [a,c] suddiviso in due intervalli [a,b] e [b,c] allora l'integrale definito della funzione in [a,c] è uguale alla somma degli integrali in [a,b] e [b,c]. $$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx + \int_b^c f(x) \:dx $$
Dal punto di vista geometrico vuol dire che le aree A1 e A2 al di sotto della funzione f(x) sono sommabili.
Dimostrazione
Se il punto b è intermedio nell'intervallo [a,c] allora esistono due partizioni
$$ P_1 = [a,b] $$ $$ P_2 = [b,c] $$
L'unione di queste due partizioni è la partizione P
$$ P = P_1 ∪ P_3 = [a,b] ∪ [b,c] $$
che ha le seguenti somme integrali inferiori
$$ s(P) = s(P_1) + s(P_2) $$
e superiori
$$ S(P) = S(P_1) + S(P_2) $$
Pertanto
$$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx + \int_b^c f(x) \:dx $$
Nota. Quando i punti a=b coincidono, l'integrale nell'intervallo [a,b] è nullo. Quindi l'integrale diventa $$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx + \int_b^c f(x) \:dx = 0 + \int_b^c f(x) \:dx $$ Quando i punti a=c coincidono, invece, l'integrale si annulla $$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx - \int_b^a f(x) \:dx = 0 $$
E così via.
