L'integrale di 1/x

L'integrale indefinito della funzione \(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\) è il logaritmo naturale del valore assoluto di \(x\), più una costante arbitraria di integrazione. \[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C \]

Dove \(\ln|x|\) è il logaritmo naturale del valore assoluto di \(x\), mentre \(C\) è la costante di integrazione.

La formula è valida per \(x\neq 0\), perché la funzione \(f(x)=\frac{1}{x}\) non è definita nell'origine.

Perché l'integrale di 1/x è un logaritmo?

Per comprendere questa formula, considero la derivata della funzione logaritmica.

\[ f(x)=\ln|x| \]

La derivata del logaritmo naturale del valore assoluto di \(x\) è

\[ f'(x)=\frac{1}{x} \]

Poiché l'integrazione indefinita è l'operazione inversa della derivazione, posso concludere che una primitiva della funzione \(\frac{1}{x}\) è \(\ln|x|\).

\[ \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C \]

Il valore assoluto è necessario perché la funzione \(\frac{1}{x}\) è definita sia per i valori positivi sia per quelli negativi di \(x\), mentre il logaritmo naturale \(\ln x\) è definito nei numeri reali soltanto per \(x>0\).

Nel caso \(x>0\), il valore assoluto coincide con \(x\). Pertanto:

\[ D_x[\ln|x|]=D_x[\ln x]=\frac{1}{x} \]

Nel caso \(x<0\) applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, ottengo:

\[ D_x[\ln|x|]=D_x[\ln(-x)] =\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x} \]

In entrambi i casi, la derivata di \(\ln|x|\) è uguale a \(\frac{1}{x}\).

Quindi, per ogni \(x\neq 0\):

\[ D_x[\ln|x|]=\frac{1}{x} \]

Questo dimostra perché il valore assoluto compare nella formula dell'integrale indefinito di \(\frac{1}{x}\).

Nota. Nel caso della funzione \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), non si può applicare la regola generale di integrazione delle potenze perché l'esponente è \(n=-1\). Infatti, sostituendo questo valore nella formula \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \] si ottiene \[
\frac{x^{-1+1}}{-1+1}=\frac{x^0}{0}=\frac{1}{0} \] Il denominatore è uguale a zero e la divisione per zero non è definita. Pertanto, la formula non è applicabile e occorre utilizzare la regola specifica: \[  \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C \]

Un esempio pratico

Considero il seguente integrale indefinito.

\[ \int \frac{3}{x}\,dx \]

Per prima cosa, applico la proprietà di linearità dell'integrale e porto la costante 3 fuori dal segno di integrazione.

\[ =3\int \frac{1}{x}\,dx \]

A questo punto, applico la formula dell'integrale di \(\frac{1}{x}\).

\[ =3\ln|x|+C \]

Quindi, il risultato finale è

\[ \int \frac{3}{x}\,dx=3\ln|x|+C \]

Verifica del risultato

Per verificare la correttezza del risultato, calcolo la derivata della funzione ottenuta.

\[ \frac{d}{dx}(3\ln|x|+C) \]

La derivata della costante \(C\) è zero, mentre la derivata di \(\ln|x|\) è \(\frac{1}{x}\).

\[ =3\cdot\frac{1}{x} \]

\[ =\frac{3}{x} \]

La derivata coincide con la funzione integranda iniziale. Pertanto, il risultato è corretto.

Perché non posso applicare la regola delle potenze?

La funzione \(\frac{1}{x}\) può essere scritta anche come potenza con esponente negativo.

\[ \frac{1}{x}=x^{-1} \]

In generale, l'integrale di una potenza si calcola applicando la formula

\[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \]

Questa regola, però, è valida soltanto quando \(n\neq -1\).

Infatti, se sostituisco \(n=-1\), ottengo

\[ \frac{x^{-1+1}}{-1+1}=\frac{x^0}{0} \]

Il denominatore è uguale a zero. Pertanto, la formula non può essere applicata.

L'integrale di \(\frac{1}{x}\) rappresenta quindi un caso particolare che richiede una formula specifica, basata sulla funzione logaritmica.