L'integrale delle funzioni esponenziali

L’integrale indefinito di una funzione esponenziale in base naturale è \[\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C\] Per una base qualsiasi \(a>0\), con \(a\neq 1\), si ha \[\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\] dove \(C\) è una costante arbitraria. Se l’esponente è della forma \(kx+b\), con \(k\neq 0\), compare un ulteriore fattore \(1/k\) e la formula diventa \[\displaystyle \int a^{kx+b}\,dx=\frac{a^{kx+b}}{k\ln a}+C\]

L'integrale indefinito di una funzione esponenziale \(a^x\), con \(a>0\) e \(a\neq1\), è dato dalla seguente formula:

$$ \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C $$

Dove \(\ln a\) è il logaritmo naturale della base e \(C\) è una costante reale arbitraria.

Per comprendere questa regola, ricordo che la derivata di una funzione esponenziale è:

$$ \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a $$

Pertanto, per ottenere una primitiva di \(a^x\), devo dividere la funzione per il fattore costante \(\ln a\). Posso verificarlo calcolando la derivata del risultato:

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{a^x}{\ln a}\right) =\frac{a^x\ln a}{\ln a} =a^x $$

Ad esempio, considero l'integrale della funzione \(2^x\): $$ \int 2^x\,dx $$ Applicando la formula con \(a=2\), ottengo: $$ \int 2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C $$

Il caso particolare della base naturale

Quando la base è il numero di Nepero \(e\), la formula si semplifica perché \(\ln e=1\):

$$ \int e^x\,dx=e^x+C $$

Infatti, applicando la formula generale $ \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C $ ottengo:

$$ \int e^x\,dx=\frac{e^x}{\ln e}+C = \frac{e^x}{1}+C = e^x+C  $$

Quindi, la funzione \(e^x\) è una primitiva di se stessa. Questo risultato deriva dal fatto che la sua derivata coincide con la funzione stessa.

Ad esempio, se nell'integrando è presente un fattore costante, posso portarlo fuori dal segno di integrale: $$ \int 5e^x\,dx=5\int e^x\,dx=5e^x+C $$

Quando l'esponente è una funzione lineare

Considero ora un'esponenziale con esponente \(kx+b\), dove \(k\) e \(b\) sono costanti e \(k\neq0\).

In questo caso, la formula diventa:

$$ \int a^{kx+b}\,dx=\frac{a^{kx+b}}{k\ln a}+C $$

Il fattore \(1/k\) serve a compensare la derivata dell'esponente. Infatti, derivando \(a^{kx+b}\), compare anche il fattore \(k\).

Per la base naturale ottengo:

$$ \int e^{kx+b}\,dx=\frac{e^{kx+b}}{k}+C $$

Ad esempio, considero il seguente integrale: $$ \int e^{3x+2}\,dx $$ Poiché la derivata dell'esponente \(3x+2\) è \(3\), divido l'esponenziale per questo valore: $$ \int e^{3x+2}\,dx=\frac{e^{3x+2}}{3}+C $$ Posso verificare il risultato mediante la derivazione: $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{3x+2}}{3}\right) =\frac{3e^{3x+2}}{3} =e^{3x+2} $$

Quando l'esponente è una funzione qualsiasi

Se nell'integrando compare il prodotto tra un'esponenziale \(e^{f(x)}\) e la derivata del suo esponente \( f'(x) \), posso applicare questa regola: $$ \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C $$ Per una base generica \(a>0\), con \(a\neq1\), la stessa regola assume la forma: $$ \int f'(x)a^{f(x)}\,dx=\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+C $$

Questa formula deriva direttamente dalla regola di derivazione delle funzioni composte.

Ad esempio, considero: $$ \int 2x\,e^{x^2}\,dx $$ L'esponente è \(f(x)=x^2\) e la sua derivata è \(f'(x)=2x\). Poiché questo fattore è presente nell'integrando, ottengo: $$ \int 2x\,e^{x^2}\,dx=e^{x^2}+C $$

Nota. In questi casi la presenza della derivata dell'esponente è essenziale per applicare direttamente queste formule, eventualmente raccogliendo un fattore costante. Ad esempio, l'integrale \(\int e^{x^2}\,dx\) è diverso dal precedente: manca il fattore \(2x\) e la sua primitiva non è esprimibile mediante funzioni elementari.

Ora considero il caso di una base generica.

$$ \int 2x\,a^{x^2}\,dx $$

L’esponente è \(x^2\) e la sua derivata, \(2x\) compare nell’integrando. Quindi, posso applicare la regola.

Ponendo \(u=x^2\), ottengo \(du=2x\,dx\) e posso applicare la formula dell’integrale di \(a^u\):

$$ \int u' \ a^u\,dx = \frac{a^u}{\ln a} + C $$

Infatti, sostituendo \( u=2x \) ottengo:

$$ \int 2x\,a^{x^2}\,dx =\int a^u\,du =\frac{a^u}{\ln a}+C =\frac{a^{x^2}}{\ln a}+C $$

La formula vale per \(a>0\) e \(a\neq1\). Se \(a=1\), l’integrando si riduce a \(2x\) e la primitiva è \(x^2+C\).

E così via.