Confronto tra integrali
Date due funzioni f(x) e g(x) integrabili nell'intervallo [a,b], se f(x)≤g(x) per ogni x ∈ [a,b] allora $$ \int_a^b f(x) \: dx ≤ \int_a^b g(x) \: dx $$
Dimostrazione
Ho due funzioni integrabili nell'intervallo [a,b] con a<b.
L'integrale della g(x) è maggiore-uguale all'integrale della f(x)
$$ \int_a^b f(x) \: dx ≤ \int_a^b g(x) \: dx $$
Pertanto, le somme integrali della f(x) sono minori-uguali alle somme integrali della g(x)
$$ S(x,f) \le S(x,g) $$
Ora calcolo la differenza tra i due integrali
$$ \int_a^b g(x) \: dx - \int_a^b f(x) \: dx $$
Per la proprietà degli integrali
$$ \int_a^b [g(x)-f(x)] \: dx $$
Il limite per Δx che tende a zero della differenza tra le somme integrali S(x,g)-S(x,f) è sicuramente maggiore o uguale a zero, perché la differenza tra le somme integrali S(x,g)-S(x,f) ≥ 0 per ogni x ∈ [a,b].
$$ \lim_{ Δx \rightarrow 0} [ S(x.g) - S(x,f) ] \cdot Δx $$
Questo dimostra che
$$ \int_a^b g(x) \: dx - \int_a^b f(x) \: dx \ge 0 $$
ossia
$$ \int_a^b f(x) \: dx ≤ \int_a^b g(x) \: dx $$
Nota. Se una funzione è nulla nell'intervallo [a,b] con a<b $$ f(x)=0 $$ l'integrale definito è sicuramente nullo $$ \int_a^b f(x) \: dx = 0 $$ Quindi, se la funzione è maggiore o uguale a zero $$ f(x) \ge 0 $$ anche l'integrale definito è maggiore di zero $$ \int_a^b f(x) \: dx \ge 0 $$ Pertanto, data una funzione f(x) valgono le disuguaglianze $$ -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)| $$ Mettendo tutto sotto integrale $$ \int_a^b -|f(x)| \: dx \le \int_a^b f(x) \: dx \le \int_a^b |f(x)| \: dx $$
Un esempio pratico
Ho due funzioni
$$ f(x) = x \\ g(x)=2x $$
Nell'intervallo x di [1,5] la funzione f(x) è sempre minore della funzione g(x)
$$ f(x) < g(x) $$
Calcolo gli integrali definiti in [1,5] delle funzioni
$$ \int_1^5 f(x) \:dx = \int_1^5 x \:dx = \frac{1}{2} (5)^2 - 5^1 = 7.5 $$
$$ \int_1^5 f(x) \:dx = \int_1^5 2x \:dx = 5^2 -5 = 20 $$
La relazione di ordine è soddisfatta anche dagli integrali
$$ \int_1^5 f(x) \:dx < \int_1^5 g(x) \:dx $$
perché
$$ 7.5 < 20 $$
E così via.
