L'integrazione per decomposizione in somma

Per calcolare l'integrale indefinito di una funzione posso scomporre e ricomporre la funzione integranda in una somma di due o più integrali tramite la proprietà della linearità.

A cosa serve?

La forma equivalente è composta da integrali elementari, quindi di facile soluzione.

Nota. Non è sempre facile trovarla. Ma se esiste... semplifica notevolmente i calcoli.

Un esempio pratico

Devo calcolare l'integrale indefinito di questa funzione

$$ \int \frac{x}{x+1} \: dx $$

Cerco una forma equivalente più facile da calcolare.

Ad esempio, sommo e sottraggo uno al numeratore della funzione integranda.

$$ \int \frac{x+1-1}{x+1} \: dx $$

Poi con qualche passaggio algebrico trasformo la funzione in una somma di termini

$$ \int \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} \: dx $$

$$ \int 1 - \frac{1}{x+1} \: dx $$

Grazie alla proprietà lineare posso scomporre l'integrale in una somma di integrali elementari

$$ \int 1 \: dx - \int \frac{1}{x+1} \: dx $$

La funzione primitiva del primo integrale è x.

$$ x + c - \int \frac{1}{x+1} \: dx $$

Nota. Per una rapida verifica $$ D[x+c]=1 $$

La funzione primitiva del secondo integrale integrale è il logaritmo di |x+1|.

$$ x + c - \log|x 1| $$

Nota. Per una rapida verifica $$ D[ \log |x+1| ]= \frac{1}{x+1} $$

Non occorre aggiungere due volte la costante c perché è già presente

In questo modo ho trovato la soluzione dell'integrale iniziale

$$ \int \frac{x}{x+1} \: dx = x - \log|x 1| + c $$

E così via.