La somma di integrali
Date due funzioni integrabili f(x) e g(x) nell'intervallo [a,b], l'integrale definito della somma delle funzioni f(x)+g(x) è uguale alla somma degli integrali delle funzioni $$ \int_a^b [f(x)+g(x)] \:dx = \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx $$
Questo vuol dire che se due funzioni f(x) e g(x) sono integrabili in [a,b] allora anche la loro somma è integrabili in [a,b].
Dimostrazione
Se le funzioni f(x) e g(x) sono integrabili nell'intervallo [a,b] secondo Riemann allora per ogni ε>0 esistono due partizioni P e Q tali che
$$ S(P,f)-s(P,f) < ε/2 $$
$$ S(Q,g)-s(Q,g) < ε/2 $$
Anche l'unione delle due partizioni
$$ R = P ∪ Q $$
soddisfa le diseguaglianze
$$ S(R,f)-s(R,f) < ε/2 $$
$$ S(R,g)-s(R,g) < ε/2 $$
La relazione tra le somme integrali inferiori e superiori è
$$ s(R,f)+s(R,g) \le s(R,f+g) \le S(R,f+g) \le S(R,f)+S(R,g) $$
Le componenti centrali s(R,f+g)≤S(R,f+g) corrispondono con l'integrale di f(x)+g(x) nell'intervallo [a,b]
$$ s(R,f)+s(R,g) \le \int_a^b [f(x)+g(x)] \: dx \le S(R,f)+S(R,g) $$
Secondo questo teorema vale anche la seguente relazione
$$ s(R,f)+s(R,g) \le \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx \le S(R,f)+S(R,g) $$
Calcolo la differenza tra le due relazioni
$$ s(R,f)+s(R,g) -[S(R,f)+S(R,g)] \le \int_a^b [f(x)+g(x)] \: dx - [ \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx ] \\ \le S(R,f)+S(R,g) - [s(R,f)+s(R,g) ] $$
Nota. Quando si moltiplica una disequazione per un numero negativo (es. -1) occorre cambiare il verso della disequazione. Quindi $$ s(R,f)+s(R,g) \le \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx \le S(R,f)+S(R,g) $$ moltiplicata per -1 diventa $$ -[s(R,f)+s(R,g)] \ge - [ \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx ] \ge -[S(R,f)+S(R,g)] $$
Sapendo che S(R,f)-s(R,f)<ε/2 e S(R,g)-s(R,g)<ε/2
$$ -ε/2 - ε/2 \le \int_a^b [f(x)+g(x)] \: dx - [ \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx ] \le ε/2 + ε/2 $$
$$ -ε \le \int_a^b [f(x)+g(x)] \: dx - [ \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx ] \le ε $$
ossia
$$ | \int_a^b [f(x)+g(x)] \: dx - [ \int_a^b f(x) \: dx + \int_a^b g(x) \: dx ] | \le ε $$
Questo dimostra che per qualsiasi ε>0 la relazione è soddisfatta.
Un esempio pratico
Ho due funzioni
$$ f(x)=2x $$
$$ g(x)= x $$
Nell'intervallo [1,3] l'integrale della f(x) vale
$$ \int_1^3 2x \: dx = 3^2 - 1^2 = 8 $$
Nota. L'integrale della funzione 2x è la funzione x2+c perché la derivata D[x2+c]=2x.
Nello stesso intervallo di integrazione [1,3] l'integrale della g(x) vale
$$ \int_1^3 x \: dx = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$
Nota. L'integrale della funzione x è la funzione 1/2·x2+c perché la derivata D[1/2·x2+c]=x.
Quindi la somma degli integrali f(x) e g(x) è
$$ \int_1^3 f(x) \:dx + \int_1^3 g(x) \:dx = 8+4 = 12 $$
Ora provo a calcolare l'integrale della somma delle funzioni f(x)+g(x)
$$ \int_1^3 f(x)+g(x) \:dx $$
$$ \int_1^3 2x+x \:dx $$
$$ \int_1^3 3x \:dx $$
calcolo l'integrale definito nell'intervallo [1,3]
$$ \int_1^3 3x \:dx = \frac{3}{2} \cdot 3^2 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 = \frac{27}{2} - \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$
Nota. L'integrale della funzione 3x è la funzione 3/2·x2+c perché la derivata D[3/2·x2+c]=3x.
Il risultato è sempre lo stesso.
$$ \int_1^3 f(x)+g(x) \:dx = \int_1^3 f(x) \:dx + \int_1^3 g(x) \:dx = 12 $$
E così via
