L'integrale indefinito
L'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive F(x)+k di una funzione continua f(x) in un intervallo [a,b]. Si indica con il simbolo $$ \int f(x) \: dx = F(x)+k $$ dove F(x) è una primitiva e k è una costante qualsiasi.
L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata di una funzione continua.
Un esempio pratico
L'integrale della funzione f(x)=2x è x2+k
$$ \int 2x \:dx = x^2+k $$
Dove x2+k è l'insieme delle funzioni primitive della f(x).
$$ x^2+k = \begin{cases} x^2-3 \\ x^2-2 \\ x^2-1 \\ x^2 \\ x^2+1 \\ x^2+2 \\ \vdots \end{cases} $$
La derivata di qualsiasi primitiva F(x)+k è sempre uguale a f(x)
$$ D[F(x)+k])=f(x) = 2x $$
perché in ogni caso la derivata della costante k è uguale a zero.
$$ D[F(x)+k])=D[f(x)]+D[k]=f(x)+0 = 2x $$
Nota. Ecco alcune primitive della funzione $$ F(x)=x^2+3 \\ F(x)=x^2-5 \\ F(x)=x^2 $$ La derivata delle primitive è sempre uguale a f(x)=2x perché la derivata della costante è nulla. $$ D[x^2+3]=2x \\ D[x^2-3]=2x D[x^2]=2x $$
Altri esempi di integrali elementari
$$ \int x^n \: dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + k $$
$$ \int \cos x \: dx = \sin x + k $$
$$ \int \sin x \: dx = - \cos x + k $$
$$ \int \frac{1}{x} \: dx = \log x + k $$
$$ \int e^x \: dx = e^x + k $$
La differenza tra l'integrale definito e indefinito
L'integrale definito è un numero reale che misura la superficie tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse.
$$ \int_a^b f(x) \: dx $$
L'integrale indefinito è invece un insieme di funzioni primitive.
$$ \int f(x) \: dx $$
I due concetti sono comunque legati tra loro dalla formula fondamentale del calcolo integrale.
$$ \int_a^b f(x) \: dx = F(b) - F(a) $$
Le proprietà degli integrali indefiniti
Gli integrali indefiniti hanno le stesse proprietà degli integrali definiti.
- La somma
$$ \int [f(x)+g(x)] \:dx = \int f(x) \:dx + \int g(x) \:dx $$
La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate. L'integrale indefinito è la funzione inversa della derivata. Pertanto, la stessa proprietà vale nel calcolo integrale. - La differenza
$$ \int [f(x)-g(x)] \:dx = \int f(x) \:dx - \int g(x) \:dx $$
- Il prodotto per uno scalare ( linearità )
$$ \int k \cdot f(x) \:dx = k \cdot \int f(x) \:dx $$
E così via.
