L'integrale indefinito

L'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive F(x)+k di una funzione continua f(x) in un intervallo [a,b]. Si indica con il simbolo $$ \int f(x) \: dx = F(x)+k $$ dove F(x) è una primitiva e k è una costante qualsiasi.

L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata di una funzione continua.

Un esempio pratico

L'integrale della funzione f(x)=2x è x2+k

$$ \int 2x \:dx = x^2+k $$

Dove x2+k è l'insieme delle funzioni primitive della f(x).

$$ x^2+k = \begin{cases} x^2-3 \\ x^2-2 \\ x^2-1 \\ x^2 \\ x^2+1 \\ x^2+2 \\ \vdots \end{cases} $$

La derivata di qualsiasi primitiva F(x)+k è sempre uguale a f(x)

$$ D[F(x)+k])=f(x) = 2x $$

perché in ogni caso la derivata della costante k è uguale a zero.

$$ D[F(x)+k])=D[f(x)]+D[k]=f(x)+0 = 2x $$

Nota. Ecco alcune primitive della funzione $$ F(x)=x^2+3 \\ F(x)=x^2-5 \\ F(x)=x^2 $$ La derivata delle primitive è sempre uguale a f(x)=2x perché la derivata della costante è nulla. $$ D[x^2+3]=2x \\ D[x^2-3]=2x D[x^2]=2x $$

Altri esempi di integrali elementari

$$ \int x^2 \: dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + k $$

$$ \int \cos x \: dx = \sin x + k $$

$$ \int \sin x \: dx = - \cos x + k $$

$$ \int \frac{1}{x} \: dx = \log x + k $$

$$ \int e^x \: dx = e^x + k $$

La differenza tra l'integrale definito e indefinito

L'integrale definito è un numero reale che misura la superficie tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse.

$$ \int_a^b f(x) \: dx $$

L'integrale indefinito è invece un insieme di funzioni primitive.

$$ \int f(x) \: dx $$

I due concetti sono comunque legati tra loro dalla formula fondamentale del calcolo integrale.

$$ \int_a^b f(x) \: dx = F(b) - F(a) $$

Le proprietà degli integrali indefiniti

Gli integrali indefiniti hanno le stesse proprietà degli integrali definiti.

  • La somma

    $$ \int [f(x)+g(x)] \:dx = \int f(x) \:dx + \int g(x) \:dx $$

    La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate. L'integrale indefinito è la funzione inversa della derivata. Pertanto, la stessa proprietà vale nel calcolo integrale.
  • La differenza

    $$ \int [f(x)-g(x)] \:dx = \int f(x) \:dx - \int g(x) \:dx $$

  • Il prodotto per uno scalare ( linearità )

    $$ \int k \cdot f(x) \:dx = k \cdot \int f(x) \:dx $$

E così via.

 


 

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