L'integrale indefinito
L'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive F(x)+k di una funzione continua f(x) in un intervallo [a,b]. Si indica con il simbolo ∫f(x)dx=F(x)+k dove F(x) è una primitiva e k è una costante qualsiasi.
L'integrale indefinito è l'operazione inversa della derivata di una funzione continua.
Un esempio pratico
L'integrale della funzione f(x)=2x è x2+k
∫2xdx=x2+k
Dove x2+k è l'insieme delle funzioni primitive della f(x).
x2+k={x2−3x2−2x2−1x2x2+1x2+2⋮
La derivata di qualsiasi primitiva F(x)+k è sempre uguale a f(x)
D[F(x)+k])=f(x)=2x
perché in ogni caso la derivata della costante k è uguale a zero.
D[F(x)+k])=D[f(x)]+D[k]=f(x)+0=2x
Nota. Ecco alcune primitive della funzione F(x)=x2+3F(x)=x2−5F(x)=x2 La derivata delle primitive è sempre uguale a f(x)=2x perché la derivata della costante è nulla. D[x2+3]=2xD[x2−3]=2xD[x2]=2x
Altri esempi di integrali elementari
∫xndx=xn+1n+1+k
∫cosxdx=sinx+k
∫sinxdx=−cosx+k
∫1xdx=logx+k
∫exdx=ex+k
La differenza tra l'integrale definito e indefinito
L'integrale definito è un numero reale che misura la superficie tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse.
∫baf(x)dx
L'integrale indefinito è invece un insieme di funzioni primitive.
∫f(x)dx
I due concetti sono comunque legati tra loro dalla formula fondamentale del calcolo integrale.
∫baf(x)dx=F(b)−F(a)
Le proprietà degli integrali indefiniti
Gli integrali indefiniti hanno le stesse proprietà degli integrali definiti.
- La somma
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate. L'integrale indefinito è la funzione inversa della derivata. Pertanto, la stessa proprietà vale nel calcolo integrale. - La differenza
∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
- Il prodotto per uno scalare ( linearità )
∫k⋅f(x)dx=k⋅∫f(x)dx
E così via.
