Caratterizzazione delle funzioni integrabili

Una funzione f(x) limitata nell'intervallo [a,b] è integrabile secondo Riemann se e solo se per ogni ε>0 esiste una partizione P dell'intervallo tale che $$ S(P)-s(P) < ε $$ dove S(P) è la somma integrale superiore, s(P) la somma integrale inferiore ed ε è un numero reale maggiore di zero.

Dimostrazione

La dimostrazione è suddivisa in due parti.

1] Se s(f)=S(f) allora S(f)-s(f) < ε

L'ipotesi iniziale è s(f)=s(f) mentre la tesi è S(f)-s(f)<ε

L'ipotesi s(f)=s(F) vuol dire che la funzione f(x) è integrabile secondo Riemann.

$$ s(f) = S(f) $$

Se la funzione f(x) è integrabile secondo Riemann nell'intervallo [a,b] allora la somma integrale inferiore s(f) e superiore S(f) della partizione sono uguali.

Nota. Il termine s(f) è l'estremo superiore dell'insieme che contiene le somme integrali inferiori di n partizioni diverse (P, Q). Il termine S(f) è invece l'estremo inferiore dell'insieme che contiene le somme integrali superiori di n partizioni diverse (P, Q).

Per ogni valore ε>0 esistono due partizioni P e Q dell'intervallo [a,b] tali che

$$ s(f) - \frac{ε}{2} < s(P) $$

$$ S(f) + \frac{ε}{2} > S(P) $$

Dall'unione delle due partizioni

$$ R = P ∪ Q $$

L'unione di due partizioni implica le seguenti relazioni

$$ s(f) - \frac{ε}{2} < s(P) \le s(R) \le S(R) \le S(Q) < S(f)+ \frac{ε}{2} $$

Non considero le somme delle partizioni P e Q per concentrare l'analisi sulla partizione R

$$ s(f) - \frac{ε}{2} \le s(R) \le S(R) < S(f)+ \frac{ε}{2} $$

Poi sposto il primo membro al secondo e metto in evidenza la differenza S(R)-s(R)

$$ S(R) - s(R) < S(f)+ \frac{ε}{2} - s(f) + \frac{ε}{2} $$

poiché s(f)=S(f)

$$ S(R) - s(R) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} $$

$$ S(R) - s(R) < ε $$

Quindi, la differenza tra la somma superiore e inferiore deve essere minore di ε.

2] Se S(f)-s(f) < ε allora s(f)=S(f)

In questo caso l'ipotesi iniziale è S(f)-s(f)<ε mentre la tesi è s(f)=s(f)

Per dimostrarlo prendo in considerazione una qualsiasi partizione P in cui vale

$$ S(P)-s(P) < ε $$

Pertanto, non si tratta della partizione S(f)=s(f) in cui la funzione è integrabile secondo Riemann perché.

$$ S(P) \ne s(P) $$

Sapendo che

$$ S(P) \ge S(f) $$

$$ s(P) \le s(f) $$

allora

$$ S(f)-s(f) \le S(P)-s(P) < ε $$

Poiché S(f)-s(f) è indipendente da ε e il numero ε è maggiore di zero (ε>0) per il teorema, allora l'unico modo per soddisfare la precedente diseguaglianza per qualsiasi valore ε è che la differenza S(f)-s(f) sia nulla

$$ S(f)-s(f) = 0 $$

ossia

$$ S(f)=s(f) $$

L'uguaglianza tra la somma integrale superiore e inferiore implica che la funzione f(x) è integrabile secondo Riemann.

Pertanto, se esiste una partizione P in cui S(P)-s(P) < ε allora esiste anche un'altra partizione in cui S(f)=s(f) e la funzione è integrabile secondo Riemann.

La seconda parte della dimostrazione finisce qui.

E così via.