Tecniche di risoluzione degli integrali

Esistono diverse tecniche per risolvere un integrale.

• Tecnica 1
  Integrazione per sostituzione
  Se la funzione f(x) e x=g(t) $$ \int f(x) \: dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \:dt $$
• Tecnica 2
  Integrazione per parti
  Se la funzione integranda è il prodotto f(x)·g'(x) $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$
• Tecnica 3
  Se la funzione integranda è il prodotto f'(x)·[f(x)]ⁿ $$ \int f'(x) \cdot [ f(x) ]^n \ dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} $$

  Esempio. Devo risolvere l'integrale $$ \int \cos(x) \cdot \sin^2(x) $$ considero f(x)=sin(x), f'(x)=cos(x) e n=2 $$ \int f'(x) \cdot f(x)^n = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} = \frac{[\sin(x)]^{2+1}}{2+1} = \frac{\sin^3(x)}{3} $$

• Tecnica 4
  Integrazione per scomposizione in fratti semplici
  Se la funzione integranda è una funzione razionale posso semplificarla usando la scomposizione in fratti semplici. $$ \int \frac{P(x)}{Q(x)} \ dx= \int \frac{A}{C(x)} + \frac{B}{D(x)} \ dx = \int \frac{A}{C(x)} \ dx + \int \frac{B}{D(x)} \ dx $$

E così via