Teorema di integrabilitÓ delle funzioni continue

Se una funzione f(x) è una funzione continua nell'intervallo [a,b] allora la funzione è integrabile secondo Riemann in [a,b]

    Dimostrazione

    In base al teorema di Cantor una funzione limitata in un intervallo chiuso [a,b] è uniformemente continua.

    Quindi è anche continua.

    Fissato un ε>0 esiste un δ>0 tale che

    $$ |f(x)-f(x')| < \frac{ε}{b-a} $$

    per ogni coppia di punti x,x' ∈ [a,b] che rispetti la condizione

    $$ |x-x'|<δ $$

    Prendo in considerazione una generica partizione P della funzione nell'intervallo [a,b]

    $$ P = ( x_0, x_1, x_2, ... , x_{n-1}, x_n ) $$

    considerando x0=a e x1=b diventa

    $$ P = ( a, x_1, x_2, ... , x_{n-1}, b ) $$

    Il valore assoluto di ogni intervallo della partizione è minore di δ per la definizione iniziale

    $$ |x_k-x_{k-1}| < δ $$

    In ciascun intervallo xk,xk-1 individuo un valore minimo mk e massimo Mk della funzione f(x).

    l'area sotto la funzione

    dove mk e Mk per k=1,...n sono

    $$ m_k = inf[f(x): x \in [x_{k-1}, x_k] ] $$

    $$ M_k = sup[f(x): x \in [x_{k-1}, x_k] ] $$

    Pertanto, la relazione tra due punti qualsiasi di [a,b]

    $$ |f(x)-f(x')| < \frac{ε}{b-a} $$

    posso anche scriverla in questa forma equivalente

    $$ M_k-m_k < \frac{ε}{b-a} $$

    Nota. Ho eliminato il valore assoluto perché il valore massimo è per definizione maggiore (o al massimo uguale) al valore minimo. Quindi la differenza Mk-mk è sempre maggiore o uguale a zero.

    Moltiplico entrambi i membri per xk - xk-1 ossia per la base del rettangolo considerato.

    $$ ( M_k-m_k ) \cdot ( x_k - x_{k-1} ) < \frac{ε}{b-a} \cdot ( x_k - x_{k-1} ) $$

    Il membro di sinistra è la differenza tra l'area del rettangolo Mk·(xk-xk-1) e l'area del rettangolo mk·(xk-xk-1).

    l'area del primo intervallo

    Ripeto il calcolo per tutti i rettangoli della partizione P e sommo i risultati tra loro

    $$ \sum_{k=1}^n ( M_k-m_k ) \cdot ( x_k - x_{k-1} ) < \frac{ε}{b-a} \cdot \sum_{k=1}^n ( x_k - x_{k-1} ) $$

    Nel membro di sinistra ottengo la differenza tra la somma integrale inferiore e superiore

    $$ S(p)-s(p) < \frac{ε}{b-a} \cdot \sum_{k=1}^n ( x_k - x_{k-1} ) $$

    Dal punto di vista grafico

    la differenza tra somma integrale inferiore e superiore

    La sommatoria delle differenze xk - xk-1 per k=1,2,...,n è uguale alla differenza (b-a).

    $$ S(p)-s(p) < \frac{ε}{b-a} \cdot (b-a) $$

    quindi semplifico e ottengo la condizione dell'integrale di Riemann

    $$ S(p)-s(p) < ε $$

    Questo dimostra che ogni funzione continua in [a,b] è derivabile secondo Riemann.

    E così via.

     


     

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