Il calcolo integrale

L'integrale è un operatore usato in analisi matematica per calcolare l'area tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse.

Il calcolo integrale venne usato per la prima volta da Archimede ed Eudosso di Cnido, nel IV secolo a.C., con il metodo di esaustione per calcolare l'area delle superfici irregolari.

Si chiama metodo di esaustione perché l'area viene riempita con dei poligoni regolari.

Come funziona il metodo per esaustione

Devo misurare l'area sotto una parabola compresa nell'intervallo [a,b]

Suddivido la superficie in n poligoni iscritti.

In questo esempio sono otto poligoni iscritti: p₁,p₂,...,p₈.

L'area dei poligoni regolari è molto più semplice da calcolare

La somma delle aree dei poligoni A_min mi fornisce una stima dell'area della parabola per difetto.

$$ A_{min} = \sum_0^n A(p_n) $$

Ora suddivido la superficie in n poligoni circoscritti.

In questo caso i poligoni regolari sono esterni alla parabola.

Poi calcolo l'area degli n poligoni regolari da q₁ a q₉.

Ottengo così una stima A_max dell'area della parabola per eccesso.

$$ A_{max} = \sum_0^n A(p_n) $$

L'area della parabola A è sicuramente compresa tra le due stime.

$$ A_{min} \le A \le A_{max} $$

Nota. La stima è tanto più precisa, quanti più poligoni utilizzo per riempire l'area della parabola. Facendo tendere il numero dei poligoni regolari n a infinito, la differenza tra A_min e A_max si riduce e la somma delle aree dei poligoli A_min≅A_max tende a eguagliare l'area della parabola. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} A_{min} = \lim_{n \rightarrow ∞} A_{max} = A $$

La differenza tra integrale definito e indefinito

Esistono due tipi di integrali

• Integrale definito
  L'integrale è calcolato entro un intervallo di integrazione (a,b) della funzione. E' il calcolo usato per misurare l'area. Pertanto, è un numero. $$ \int_a^b f(x) \:\:dx $$
• Integrale indefinito
  L'integrale è calcolato su tutto l'intervallo di definizione della funzione. E' l'operatore inverso della derivata di una funzione. Pertanto, è una funzione o per meglio dire una famiglia di funzioni. $$ \int f(x) \:\:dx $$

Nota. L'integrale definito e indefinito hanno scopi e metodi di calcolo differenti. Pertanto, non vanno confusi tra loro.

E così via.