Il calcolo integrale

L'integrale è un operatore usato in analisi matematica per calcolare l'area tra il grafico di una funzione e l'asse delle ascisse.
il calcolo integrale

Il calcolo integrale venne usato per la prima volta da Archimede ed Eudosso di Cnido, nel IV secolo a.C., con il metodo di esaustione per calcolare l'area delle superfici irregolari.

Si chiama metodo di esaustione perché l'area viene riempita con dei poligoni regolari.

Come funziona il metodo per esaustione

Devo misurare l'area sotto una parabola compresa nell'intervallo [a,b]

come misurare l'area di una parabola ( esempio )

Suddivido la superficie in n poligoni iscritti.

In questo esempio sono otto poligoni iscritti: p1,p2,...,p8.

i poligoni iscritti dentro la parabola

L'area dei poligoni regolari è molto più semplice da calcolare

La somma delle aree dei poligoni Amin mi fornisce una stima dell'area della parabola per difetto.

$$ A_{min} = \sum_0^n A(p_n) $$

Ora suddivido la superficie in n poligoni circoscritti.

In questo caso i poligoni regolari sono esterni alla parabola.

i poligoni circoscrivono la figura geometrica

Poi calcolo l'area degli n poligoni regolari da q1 a q9.

Ottengo così una stima Amax dell'area della parabola per eccesso.

$$ A_{max} = \sum_0^n A(p_n) $$

L'area della parabola A è sicuramente compresa tra le due stime.

$$ A_{min} \le A \le A_{max} $$

Nota. La stima è tanto più precisa, quanti più poligoni utilizzo per riempire l'area della parabola. Facendo tendere il numero dei poligoni regolari n a infinito, la differenza tra Amin e Amax si riduce e la somma delle aree dei poligoli Amin≅Amax tende a eguagliare l'area della parabola. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} A_{min} = \lim_{n \rightarrow ∞} A_{max} = A $$

La differenza tra integrale definito e indefinito

Esistono due tipi di integrali

  • Integrale definito
    L'integrale è calcolato entro un intervallo di integrazione (a,b) della funzione. E' il calcolo usato per misurare l'area. Pertanto, è un numero. $$ \int_a^b f(x) \:\:dx $$
  • Integrale indefinito
    L'integrale è calcolato su tutto l'intervallo di definizione della funzione. E' l'operatore inverso della derivata di una funzione. Pertanto, è una funzione o per meglio dire una famiglia di funzioni. $$ \int f(x) \:\:dx $$

Nota. L'integrale definito e indefinito hanno scopi e metodi di calcolo differenti. Pertanto, non vanno confusi tra loro.

E così via.

 


 

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Integrali multidimensionali

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