L'integrazione per parti
Si tratta di una formula per calcolare gli integrali indefiniti.
Se in un intervallo [a,b] due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili con derivata continua, allora sono definiti gli integrali $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$
- La funzione f(x) è detta fattore finito.
- La funzione g'(x) è detta fattore differenziale.
Quando è applicabile, questa formula semplifica il calcolo dell'integrale indefinito in pochi passaggi.
Attenzione. La scelta del fattore differenziale è essenziale nell'integrazione per parti. E' quindi opportuno scegliere tra le due funzioni quella che semplifica i calcoli. Non è sempre facile capire qual è.
Un esercizio di esempio
Provo a calcolare questo integrale indefinito con la regola di integrazione per parti
$$ \int x \cdot \cos x \: dx $$
La funzione coseno è una funzione primitiva del seno.
Quindi, considero la x come fattore finito f(x) e la derivata del coseno come fattore differenziale g'(x).
$$ f(x) = x $$
$$ g'(x) = \cos x $$
Quindi, la funzione g(x) è
$$ g(x) = \sin x $$
A questo punto applico la regola di integrazione per parti.
$$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$
$$ \int x \cdot \cos x \: dx = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \: dx $$
La primitiva del seno è meno coseno.
$$ \int x \cdot \cos x \: dx = x \cdot \sin x + \cos x + k $$
Ho così risolto l'integrale iniziale con la regola di integrazione per parti.
Nota. La scelta del fattore differenziale è importante. Anche la funzione x è una primitiva di 1/2x2. Tuttavia se avessi scelto x anziché cos x come fattore differenziale il calcolo dell'integrale non sarebbe stato facile. $$ f(x) = \cos x $$ $$ g'(x) = x $$ Quindi, la funzione g(x) è $$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $$ In questo caso la formula dell'integrazione per parti non semplifica il calcolo. $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$ $$ \int \cos x \cdot x \: dx = \cos(x) \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int -\sin x \cdot \frac{1}{2}x^2 \: dx $$ Al contrario, forse lo complica.
Dimostrazione e spiegazione
L'integrazione per parti prende spunto dalla regola di derivazione del prodotto di due funzioni.
$$ [ f(x) \cdot g(x) ]' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$
Applico l'integrale indefinito a entrambi i membri dell'equazione
$$ \int [ f(x) \cdot g(x) ]' \: dx = \int f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \: dx $$
Poi applico la proprietà di linearità degli integrali al secondo membro e lo trasformo in una somma di integrali.
$$ \int [ f(x) \cdot g(x) ]' \: dx = \int f'(x) \cdot g(x) \: dx + \int f(x) \cdot g'(x) \: dx $$
Sposto l'integrale ∫f'(x)g(x) al membro di sinistra.
$$ \int [ f(x) \cdot g(x) ]' \: dx - \int f'(x) \cdot g(x) \: dx = \int f(x) \cdot g'(x) \: dx $$
L'integrale e la derivata del prodotto nel primo termine ∫[f(x)g(x)]' si annullano
$$ f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \: dx = \int f(x) \cdot g'(x) \: dx $$
Ho così ottenuto la formula di integrazione per parti a partire dalla regola di derivazione del prodotto.
$$ \int f(x) \cdot g'(x) \: dx = f(x) \cdot g(x)- \int f'(x) \cdot g(x) \: dx $$
Questo dimostra anche che il prodotto di due funzioni f(x)·g(x) è la primitiva della sua derivata [f(x)·g(x)]'. $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$ $$ \int f(x)g'(x) \: dx + \int f'(x)g(x) \: dx = f(x)g(x) $$ $$ \int f(x)g'(x) + f'(x)g(x) \: dx = f(x)g(x) $$ Sapendo che f(x)g'(x)+f'(x)g(x)=D[f(x)g(x)] è la derivata del prodotto delle funzioni $$ \int [f(x)g(x)]' \: dx = f(x)g(x) $$
E così via.
