Integrazione per sostituzione con gli integrali definiti
La regola di integrazione per sostituzione degli integrali indefiniti può essere usata anche per calcolare gli integrali definiti. $$ \int_a^b f(x) \: dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(t)) \cdot g'(t) \: dt $$
Un esempio pratico
Ho l'integrale definito
$$ \int_0^{\sqrt{π}} x \cdot \cos x^2 dx $$
Semplifico l'integrale assegnando la variabile t a x2
$$ t=x^2 $$
Quindi il differenziale dt è
$$ dt = t' \:dx \\ dt = 2x \: dx $$
Ora sostituisco gli elementi dell'integrale.
La variabile x2 diventa t
$$ \int_0^{\sqrt{π}} x \cdot \cos t \: dx $$
L'altra componente x dx deve essere sostituita con dt che, tuttavia, è 2x dx.
Con un semplice passaggio algebrico trasformo dt
$$ dt = 2x \: dx $$
$$ \frac{dt}{2} = x \: dx $$
Quindi sostituisco x·dx con dt/2
$$ \int_0^{\sqrt{π}} x \cdot \cos t \: dx $$
$$ \int_0^{\sqrt{π}} ( \cos t ) \cdot x \: dx $$
$$ \int_0^{\sqrt{π}} ( \cos t ) \cdot \frac{dt}{2} $$
Sposto la costante 1/2 al di fuori dell'integrale
$$ \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\sqrt{π}} \cos t \: dt $$
Ora devo sistemare anche gli estremi dell'integrale per passare da x a t.
$$ \frac{1}{2} \cdot \int_{g(0)}^{g(\sqrt{π})} \cos t \: dt $$
Sapendo che t=x2
$$ g(0)=0^2 = 0 \\ g(\sqrt{π}) = \sqrt{π^2} = p $$
Quindi l'integrale diventa
$$ \frac{1}{2} \cdot \int_0^π \cos t \: dt $$
A questo punto risolvo l'integrale definito
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \sin t ]_0^π $$
ossia
$$ \frac{1}{2} \cdot ( \sin π - \sin 0 ) $$
Il seno di p greco (180°) è uguale a zero.
Anche il seno di zero è uguale a zero.
$$ \frac{1}{2} \cdot ( 0 - 0 ) $$
$$ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 $$
Il risultato dell'integrale definito è zero.
E così via.
