Integrazione per sostituzione con gli integrali definiti
La regola di integrazione per sostituzione degli integrali indefiniti può essere usata anche per calcolare gli integrali definiti. Esistono due modi equivalenti per utilizzarla:
- Se $x = g(t)$ $$ \int_a^b f(x)\,dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t)) \cdot g'(t)\,dt $$
- Se $t = g(x)$ $$\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)\,dt $$
Un esempio pratico
Ho l'integrale definito
$$ \int_0^{\sqrt{π}} x \cdot \cos x^2 dx $$
Semplifico l'integrale assegnando la variabile t a x2
$$ t=x^2 $$
Quindi il differenziale dt è
$$ dt = t' \:dx \\ dt = 2x \: dx $$
Ora sostituisco gli elementi dell'integrale.
La variabile x2 diventa t
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{π}} x \cdot \cos t \: dx $$
L'altra componente x dx deve essere sostituita con dt che, tuttavia, è 2x dx.
Con un semplice passaggio algebrico trasformo dt
$$ dt = 2x \: dx $$
$$ \frac{dt}{2} = x \: dx $$
Quindi sostituisco x·dx con dt/2
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{π}} x \cdot \cos t \: dx $$
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{π}} ( \cos t ) \cdot x \: dx $$
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{π}} ( \cos t ) \cdot \frac{dt}{2} $$
Sposto la costante 1/2 al di fuori dell'integrale
$$ \frac{1}{2} \cdot \int_{x=0}^{x=\sqrt{π}} \cos t \: dt $$
Ora devo sistemare anche gli estremi dell'integrale per passare da x a t.
$$ \frac{1}{2} \cdot \int_{t=g(0)}^{t=g(\sqrt{π})} \cos t \: dt $$
Sapendo che t=x2
$$ g(0)=0^2 = 0 \\ g(\sqrt{π}) = ( \sqrt{π} )^2 = \pi $$
Quindi l'integrale diventa
$$ \frac{1}{2} \cdot \int_0^π \cos t \: dt $$
A questo punto risolvo l'integrale definito
$$ \frac{1}{2} \cdot [ \sin t ]_0^π $$
ossia
$$ \frac{1}{2} \cdot ( \sin π - \sin 0 ) $$
Il seno di p greco (180°) è uguale a zero.
Anche il seno di zero è uguale a zero.
$$ \frac{1}{2} \cdot ( 0 - 0 ) $$
$$ \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 $$
Il risultato dell'integrale definito è zero.
Esempio 2
Ora provo a calcolare lo stesso integrale seguendo un'altra strada
$$ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \cos(x^2)\,dx $$
In questo caso cambio la variabile $ x $ sapendo che $ t = x^2 $, quindi $ x = \sqrt{t} $
$$ x = g(t) = \sqrt{t} $$
Da questa ricavo il differenziale
$$ dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt $$
Sostituisco gli elementi che ho trovato nell'integrando, cioé $x = \sqrt{t}$, $dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt$
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \sqrt{t} \cdot \cos([\sqrt{t}]^2)\,\frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt $$
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \sqrt{t} \cdot \cos(t)\,\frac{1}{2\sqrt{t}}\,dt $$
$$ \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \cos(t)\,\frac{1}{2}\,dt $$
$$ \frac{1}{2} \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} \cos(t) \,dt $$
Ho ora un integrale espresso in \( t \), ma con gli estremi ancora in \( x \). Quindi, devo trasformarli.
Sapendo che $ x = g(t) = \sqrt{t} $, posso ottenere $ t $ tramite la funzione inversa $ t =g^{-1}(x) = x^2 $:
- Se $x = 0$, allora $t = 0^2 = 0$
- Se $x = \sqrt{\pi}$, allora $t = ( \sqrt{\pi} )^2 = \pi$
Quindi, riscrivo l’integrale con gli estremi nella variabile $ t $
$$ \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(t)\,dt $$
A questo punto posso risolvere l'integrale perché la funzione integranda è elementare $ \int \cos(t) dt = \sin(t) $
$$ \frac{1}{2} \int_0^\pi \cos(t)\,dt $$
$$ \frac{1}{2} \left[ \sin(t) \right]_0^\pi $$
$$ \frac{1}{2} (\sin\pi - \sin 0) = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0 $$
Anche con questo approccio ottengo lo stesso risultato:
$$ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \cdot \cos(x^2)\,dx = 0 $$
Nota. Questo secondo metodo è più formale e usa $x = g(t)$, quindi richiede la funzione inversa esplicita, in questo caso: $x = \sqrt{t}$. È utile per spiegare la formula astratta della sostituzione con $g^{-1}(a), g^{-1}(b)$. Tuttavia, nei calcoli concreti, il metodo con $t = x^2$ è più semplice, diretto e naturale. In ogni caso, la scelta del metodo da seguire dipende dalla convenienza nel semplificare i calcoli: in certi casi è più immediato il primo approccio, in altri conviene il secondo.
E così via.
