Le funzioni primitive
Cos'è una funzione primitiva
Una funzione F(x) è una primitiva della funzione f(x) se F(x) è derivabile nell'intervallo [a,b] e la derivata F'(x)=f(x) per ogni x nell'intervallo [a,b]. $$ F'(x)=f(x) \:\:\: \forall x \in [a,b] $$
Un esempio pratico
Questa funzione
$$ F(x)=x^2 $$
è una primitiva della funzione f(x)=2x
$$ f(x)=2x $$
perché la derivata F'(x) è uguale a f(x)
$$ F(x)= D [ x^2 ] = 2x $$
Da questa osservazione deriva il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Se una funzione f(x) è una funzione continua nell'intervallo [a,b], allora la funzione integrale F(x) è una primitiva di f(x) se la derivata di F(x) è uguale a f(x) $$ F(x) = \int_a^b f(x) \: dx $$ con $$ f(x)=F'(x) $$
In realtà, per ogni funzione continua f(x) non esiste soltanto una primitiva F(x) ma una famiglia con infinite primitive nella forma F(x)+k.
La famiglia di primitive
La famiglia di primitive di una funzione f(x) è un insieme composto da funzioni F(x)+k dove k è una costante.
$$ F(x)+k $$
perché la derivata di una costante è sempre zero.
$$ D[F(x)+k] = D[f(x)] + D[k] = D[f(x)] + 0 $$
Esempio. La derivata di F(x)=x2+3 e G(x)=x2+5 è sempre uguale a 2x. $$ F'(x)=D[x^2+3]=2x \\ G'(x)=D[x^2+5]=2x $$ per questa ragione l'integrale di 2x è x2+k $$ \int 2x \: dx = x^2 + k $$ in questo modo si considerano sia la primitiva F(x) che G(x) e tutte le altre infinite primitive della funzione f(x)=2x.
Quindi, l'integrale della funzione f(x) è una famiglia di primitive caratterizzate dalla primitiva F(x) e da una costante k qualsiasi
$$ F(x) = \int_a^b f(x) \: dx $$ con $$ f(x)=F'(x)+k $$
Detto in altri termini
Date due funzioni primitive F(x) e G(x) di una stessa funzione continua f(x) nell'intervallo [a,b], esiste una costante k tale che per ogni x∈[a,b] la funzione G(x) è uguale a F(x)+k $$ G(x)=F(x)+k $$
Dimostrazione
Considero la funzione H(x) pari alla differenza delle primitive G(x)-F(x)
$$ H(x) = G(x)-F(x) $$
Esempio. Date due primitive di f(x)=2x $$ F(x)=x^2+3 \\ G(x) = x^2+5 $$ La funzione H(x) è $$ H(x) = G(x)-F(x) = (x^2+3) - (x^2+5) $$
La derivata della funzione H(x) è nulla
$$ H'(x) = G'(x)-F'(x) $$
Essendo le derivate G'(x)=f(x) e F'(x)=f(x), la differenza G'(x)-F'(x) è nulla.
$$ H'(x) = f(x)-f(x) = 0 $$
Esempio. $$ D[H(x)] = D[G(x)] - D[F(x)] = D[x^2+3] - D[x^2+5] = 2x - 2x = 0 $$
Secondo il teorema di Lagrange nell'intervallo [a,x] dove x∈ [a,b] esiste un valore x0 ∈ [a,x] tale che
$$ H(x)-H(a) = H'(x_0) \cdot (x-a) $$
poiché la derivata H'(x) è nulla nell'intervallo [a,b] anche la differenza H(x)-H(a) è nulla.
$$ H(x)-H(a) = 0 \cdot (x-a) $$
$$ H(x)-H(a) = 0 $$
Pertanto, in ogni x di (a,b] la H(x) è un valore costante pari a H(a).
$$ H(x) = H(a) $$
Quindi, la funzione primitiva G(x) può essere scritta nella forma
$$ H(x) = G(x)-F(x) $$
$$ G(x) = F(x) + H(x) $$
dove H(x) una costante k
$$ G(x) = F(x) + k $$
E così via.
