Analisi di un segnale con la serie di Fourier

Un segnale periodico v(t) in un periodo T0=1/f0 può essere scomposto in somme di sinusoidi o di fasori rosanti tramite la serie esponenziale di Fourier. $$ v(t) = \sum_{n=-∞}^{∞} c_n \cdot e^{j2πnf_0t} $$

La spiegazione

I coefficienti cn della serie di Fourier e sono uguali alla media del prodotto v(t)e-j2πnf0t mentre j è l'unità immaginaria i=√-1 del numero complesso.

$$ c_n = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} v(t)e^{-j2πnf_0t} \: dt $$

La variabile n=0,1,2,.... indica i cicli del periodo 2π.

La variabile f0 è la frequenza ed è pari all'inverso del periodo f0=1/T0.

Nota. In matematica la serie di Fourier mi permette di rappresentare una funzione periodica mediante una combinazione lineare di funzioni sinusoidali (seno e coseno). $$ f(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \cos k \cdot x + b_k \sin k \cdot x ) $$ I parametri a0, ak e bk sono detti coefficienti di Fourier. Usando la formula di Eulero $$ e^{jθ} = \cos θ + i \cdot \sin θ $$ dove è l'unità immaginaria i=√-1 e θ è un angolo qualsiasi, posso riformulare la serie di Fourier in modo equivalente nella forma esponenziale $$ v(t) = \sum_{n=-∞}^{∞} c_n e^{j2πnf_0t} $$

Se il coefficiente cn è un numero complesso posso rappresentarlo anche in forma polare.

$$ c_n = |c_n| = e^{j(arg \: c_n)} $$

dove |cn| è il modulo (ampiezza) e arg cn è l'argomento (l'angolo) di cn.

Il modulo |c(nf0)| rappresenta lo spettro delle frequenze.

L'argomento arg c(nf0) rappresenta lo spettro della fase.

Settando n=0 il coefficiente c(0) è pari al valore medio del segnale $$ c(0)= \frac{1}{T_0} \int_{T_0} v(t) \: dt = <v(t)> $$

Se la funzione del segnale nel dominio del tempo v(t) non è un numero complesso, ossia è una funzione reale, lo spettro dell'ampiezza e della fase sono simmetrici rispetto all'asse delle ordinate

$$ |c_{nf_0}|= |-c_{nf_0}| $$ $$ arg \: c(-nf_0) = -arg \: c(nf_0) $$

Lo spettro dell'ampiezza ha simmetria pari mentre lo spettro della fase ha simmetria dispari.

Esempio
esempio di simmetria pari e dispari

Nel caso dei segnali reali la serie di Fourier esponenziale può essere riscritta sotto forma di serie di Fourier trigonometrica tramite coppie complesse e coniugate.

$$ v(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{∞} |2c_n| \cos (2πnf_0t + \: arg \: c_n) $$

La precedente formula disegna soltanto una parte del diagramma e non entrambe.

Spesso l'integrale del coefficiente cn comporta un fasore in media

$$ c_n = \int_{-T/2}^{T/2} e^{-j2πft} \: dt = \frac{1}{j2πfT}(e^{jπfT} - e^{-jπfT}) = \frac{1}{πfT} \frac{e^{jπfT} - e^{-jπfT}}{2j} $$

Sapendo che secondo la formula di Eulero il seno è uguale alla differenza di esponenziali complessi

$$ \sin z = \frac{e^{jz}-e^{-jz}}{2j} $$

assegnando z=πfT ottengo la forma equivalente

$$ c_n = \frac{1}{πfT} \sin πfT $$

Per semplicità introduco la funzione del seno cardinale (sinc)

$$ sinc \: A = \frac{\sin πλ}{πλ} $$

Assegnando λ=fT posso trasformare il coefficiente cn della serie Fourier in questa forma ridotta e semplificata dove A è la variabile indipendente.

$$ c_n = \frac{1}{πfT} \: sinc \: A $$

Un esempio pratico

Un segnale periodico è composto da impulsi rettangolari. Ad esempio, un segnale di clock in un computer.

Per semplicità l'ampiezza dell'impulso è A=1 e la durata è τ=2T1.

un esempio di onda quadrata

L'onda rettangolare ha un periodo (durata) pari a T.

Per determinare i coefficienti di Fourier considero l'intervallo di tempo

$$ - \frac{T}{2} \le t \le \frac{T}{2} $$

Quindi, nel dominio del tempo la funzione si può scrivere

$$ f(t) =\begin{cases} 1 \:\: se \:\: |t| < T_1 \\ \\ 0 \:\: se \:\: T_1 < |t| < T/2 \end{cases} $$

La frequenza del segnale ω è

$$ ω_0 = \frac{2π}{T} $$

Per n = 0 il coefficiente c0 è

$$ c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T_1}^{T_1} \: dt $$

$$ c_0 = \frac{1}{T} \cdot [ t ]_{-T_1}^{T_1} $$

$$ c_0 = \frac{1}{T} \cdot [ T_1 -(-T_1) ] $$

$$ c_0 = \frac{2T_1}{T} $$

Per n>0 i coefficienti cn sono

$$ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T_1}^{T_1} e^{-jnω_0t} \: dt = \frac{2T_1}{T} $$

Applico la regola fondamentale di integrazione

$$ c_n = \frac{1}{T} [ - \frac{1}{jnω_0} e^{-jnω_0t} ]_{-T_1}^{T_1} $$

$$ c_n = \frac{1}{T} [ - \frac{1}{jnω_0} e^{-jnω_0T_1} - (- \frac{1}{inω_0} e^{-jnω_0(-T_1)}) ] $$

$$ c_n = \frac{1}{T} [ - \frac{1}{jnω_0} e^{-jnω_0T_1} + \frac{1}{inω_0} e^{jnω_0T_1}) ] $$

$$ c_n = \frac{1}{T} [ \frac{1}{jnω_0} e^{jnω_0T_1} - \frac{1}{inω_0} e^{-jnω_0T_1} ] $$

$$ c_n = \frac{1}{jnω_0T} \cdot [ e^{jnω_0T_1} - e^{-jnω_0T_1} ] $$

$$ c_n = \frac{1}{jnω_0T} \cdot [ e^{jnω_0T_1} - e^{-jnω_0T_1} ] $$

$$ c_n = \frac{1}{nω_0T} \cdot [ \frac{e^{jnω_0T_1} - e^{-jnω_0T_1}}{j} ] $$

Nota. Sapendo che secondo il seno è uguale alla differenza di esponenziali complessi $$ \sin z = \frac{e^{jz}-e^{-jz}}{2j} $$ allora $$ 2 \sin z = \frac{e^{jz}-e^{-jz}}{j} $$ dove z=nωT1

$$ c_n = \frac{1}{nω_0T} \cdot [ 2 \sin(nω_0T_1) ] $$

$$ c_n = \frac{2 \sin(nω_0T_1)}{nω_0T} $$

Essendo ω0T=2π

$$ c_n = \frac{2 \sin(nω_0T_1)}{n(2π)} $$

$$ c_n = \frac{\sin(nω_0T_1)}{nπ} $$

Questa formula con n=1,2,3,... mi permette di calcolare gli altri coefficienti di Fourier c1, c2,c3,...

Una volta ottenuti i coefficienti posso disegnare lo spettro di frequenza del segnale.

Cos'è lo spettro di frequenza? Ogni segnale periodico è caratterizzato da uno spettro di frequenza in cui si associa l'ampiezza e la fase del segnale per ogni frequenza.

Il coefficiente cn può essere scritto nella forma

$$ c_n = |c_n| e^{jθ_n} $$

Dove |cn| è il modulo o ampiezza mentre θn è la fase.

Per disegnare lo spettro delle frequenze utilizzo il seno cardinale $$ sinc(x) = \frac{\sin(x)}{x} $$ La fase è nulla per i valori positivi della funzione sinc() e π (o -π) per i valori negativi.
il grafico della funzione

Riprendo la formula del coefficiente cn

$$ c_n = \frac{2 \sin(nω_0T_1)}{nω_0T} $$

Per applicare la funzione sinc() devo fare in modo che l'argomento del seno sia uguale al denominatore.

Quindi, moltiplico e divido per T1.

$$ c_n = \frac{2 \sin(nω_0T_1)}{nω_0T} \cdot \frac{T_1}{T_1} $$

$$ c_n = 2 \cdot \frac{ \sin(nω_0T_1)}{nω_0T_1} \cdot \frac{T_1}{T} $$

$$ c_n = 2 \cdot \: sinc (nω_0T_1) \cdot \frac{T_1}{T} $$

$$ c_n = \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc (nω_0T_1) $$

Per semplificare ulteriormente la formula sostituisco ω=nω0

$$ c_n = \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc (ωT_1) $$

A questo punto posso calcolare le armoniche nelle varie frequenze.

Per ω=0

Quando ω=0 il seno cardinale vale 1.

$$ sinc(0) = 1 $$

Quindi, l'ampiezza in c0 è

$$ |c_n| = | \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc(0) | $$

$$ |c_n| = \frac{2T_1}{T} \cdot 1 $$

$$ |c_n| = \frac{2T_1}{T} $$

Nota. L'ampiezza in c0 è uguale al valore medio del segnale nel periodo T.

La funzione sinc() ha valore positivo sinc()=1>0, quindi la fase è nulla.

lo spettro delle frequenze

Da ω>0 a ω<π/T1

Nell'intervallo delle pulsazioni compreso tra ω∈(0,π/T1) il seno cardinale è positivo ed è compreso tra 0 e 1 .

$$ 0 < sinc(ωT_1) < 1 $$

Quindi, l'ampiezza del segnale è

$$ |c_n| = | \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc(ωT_1) | $$

$$ |c_n| = \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc(ωT_1) $$

Essendo la funzione sinc()>0 la fase è nulla nell'intervallo ω∈(0,π/T1)

l'analisi nel dominio delle frequenze

Per ω=π/T1

Alla frequenza ω=π/T1 il seno cardinale si annulla

$$ sinc(ωT_1) = sinc(\frac{π}{T_1}T_1) = sinc(π) = 0 $$

Pertanto, l'ampiezza (modulo) è uguale a zero

$$ |c_n| = | \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc(ωT_1) | $$

$$ |c_n| = | \frac{2T_1}{T} \cdot \: 0 | $$

$$ |c_n| = 0 $$

Non essendo positiva l'ampiezza, la fase è uguale a ±π ossia ±180°.

lo studio del dominio delle frequenze

Da ω=π/T1 a ω=2π/T1

Nell'intervallo di frequenze ω=[π/T1,π/T1] il seno cardinale è negativo (non positivo). Quindi la fase è 180°.

L'ampiezza (modulo) è sempre positiva perché è sotto modulo. E' però inferiore rispetto al primo ciclo perché il valore del seno cardinale ora è più basso.

$$ |c_n| = | \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc(ωT_1) | > 0 $$

Ecco lo spettro aggiornato con le nuove frequenze

lo spettro aggiornato

Per ω>2π/T1

Nell'intervallo di frequenze ω=[π/T1,π/T1] il seno cardinale torna a essere positivo. Quindi la fase è nulla.

L'ampiezza (modulo) è positiva ma inferiore rispetto ai cicli precedenti perché il valore del seno cardinale ora è ancora più basso.

$$ |c_n| = | \frac{2T_1}{T} \cdot \: sinc(ωT_1) | > 0 $$

Ecco lo spettro aggiornato con le nuove frequenze.

lo spettro dell'ampiezza e della fase

E così via.

 


 

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