Sistemi di equazioni goniometriche
Un sistema di equazioni goniometriche posso risolverlo in modo algebrico sostituendo ogni funzione goniometrica di pari argomento con una variabile.
Un esempio pratico
Ho il sistema di equazioni goniometriche
{sinx+siny=32sinx−siny=−12
Sostituisco le funzioni goniometriche con le variabili s = sin x e con t=sin y
{s+t=32s−t=−12
Poi risolvo il sistema di equazioni con qualsiasi metodo. Ad esempio, il metodo della sostituzione.
Metto in evidenza s nella prima equazione
{s=32−ts−t=−12
Poi sostituisco s con 3/2-t nella seconda equazione
{s=32−t32−t−t=−12
{s=32−t−2t=−12−32
{s=32−t−2t=−42
{s=32−t−2t=−2
{s=32−t−2t⋅(−1)=−2⋅(−1)
{s=32−t2t=2
{s=32−tt=12⋅2
{s=32−tt=1
Ora sostituisco t=1 nella prima equazione
{s=32−1t=1
{s=3−22t=1
{s=12t=1
Quindi le soluzioni del sistema algebrico sono s=1/2 e t=1
s=12
t=1
Sapendo che s=sin x e t =sin y
sinx=12
siny=1
Entrambi i termini noti sono compatibili con il codominio del seno che è compreso nell'intervallo [-1,1]
Le due equazioni goniometriche elementari del seno hanno le seguenti soluzioni α+2πk oppure π-α+2πk.
α+2πk∨(π−α)+2πk
Per ottenere i valori delle incognite x e y calcolo l'arcoseno in entrambi i membri delle equazioni
arcsin(sinx)=arcsin(12)
arcsin(siny)=arcsin(1)
L'arcoseno del seno è la variabile stessa x o y
x=arcsin(12)
y=arcsin(1)
L'arcoseno di 1/2 è 30° ossia π/6 mentre l'arcoseno di 1 è 90° ossia π/2.
x=π6
y=π2
Quindi, le soluzioni dell'incognita x con α=π/6 sono x=π/6 e x=5/6 π
x=α+2πk∨(π−α)+2πk
x=π6+2πk∨(π−π6)+2πk
x=π6+2πk∨(6π−π6)+2πk
x=π6+2πk∨5π6+2πk
Le soluzioni dell'incognita y con α=π/2 sono y=π/2
y=α+2πk∨(π−α)+2πk
y=π2+2πk∨(π−π2)+2πk
y=π2+2πk∨( 2π−π2)+2πk
y=π2+2πk∨( π2)+2πk
In conclusione, le soluzioni del sistema di equazioni cartesiane sono
x=π6+2πk∨5π6+2πk ∧ y=π2+2πk
E così via.
