Sistemi di equazioni goniometriche

Un sistema di equazioni goniometriche posso risolverlo in modo algebrico sostituendo ogni funzione goniometrica di pari argomento con una variabile.

Un esempio pratico

Ho il sistema di equazioni goniometriche

$$ \begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{3}{2} \\ \\ \sin x - \sin y = - \frac{1}{2} \end{cases} $$

Sostituisco le funzioni goniometriche con le variabili s = sin x e con t=sin y

$$ \begin{cases} s + t = \frac{3}{2} \\ \\ s - t = - \frac{1}{2} \end{cases} $$

Poi risolvo il sistema di equazioni con qualsiasi metodo. Ad esempio, il metodo della sostituzione.

Metto in evidenza s nella prima equazione

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ s - t = - \frac{1}{2} \end{cases} $$

Poi sostituisco s con 3/2-t nella seconda equazione

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ \frac{3}{2} - t - t = - \frac{1}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ - 2t = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ - 2t = - \frac{4}{2} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ - 2t = - 2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ - 2t \cdot (-1) = - 2 \cdot (-1) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ 2t = 2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ t = \frac{1}{2} \cdot 2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - t \\ \\ t = 1 \end{cases} $$

Ora sostituisco t=1 nella prima equazione

$$ \begin{cases} s = \frac{3}{2} - 1 \\ \\ t = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{3-2}{2} \\ \\ t = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} s = \frac{1}{2} \\ \\ t = 1 \end{cases} $$

Quindi le soluzioni del sistema algebrico sono s=1/2 e t=1

$$ s= \frac{1}{2} $$

$$ t= 1 $$

Sapendo che s=sin x e t =sin y

$$ \sin x= \frac{1}{2} $$

$$ \sin y = 1 $$

Entrambi i termini noti sono compatibili con il codominio del seno che è compreso nell'intervallo [-1,1]

Le due equazioni goniometriche elementari del seno hanno le seguenti soluzioni α+2πk oppure π-α+2πk.

$$ \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k $$

Per ottenere i valori delle incognite x e y calcolo l'arcoseno in entrambi i membri delle equazioni

$$ \arcsin( \sin x ) = \arcsin( \frac{1}{2} ) $$

$$ \arcsin( \sin y ) = \arcsin( 1 ) $$

L'arcoseno del seno è la variabile stessa x o y

$$ x = \arcsin( \frac{1}{2} ) $$

$$ y = \arcsin( 1 ) $$

L'arcoseno di 1/2 è 30° ossia π/6 mentre l'arcoseno di 1 è 90° ossia π/2.

$$ x = \frac{\pi}{6} $$

$$ y = \frac{\pi}{2} $$

Quindi, le soluzioni dell'incognita x con α=π/6 sono x=π/6 e x=5/6 π

$$ x = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k $$

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k $$

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee (\frac{6 \pi-\pi}{6}) + 2\pi k $$

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee \frac{5 \pi}{6} + 2\pi k $$

Le soluzioni dell'incognita y con α=π/2 sono y=π/2

$$ y = \alpha + 2\pi k \vee (\pi - \alpha) + 2\pi k $$

$$ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \vee (\pi - \frac{\pi}{2} ) + 2\pi k $$

$$ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \vee (\ \frac{2 \pi -\pi}{2} ) + 2\pi k $$

$$ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \vee (\ \frac{ \pi}{2} ) + 2\pi k $$

In conclusione, le soluzioni del sistema di equazioni cartesiane sono

$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \vee \frac{5 \pi}{6} + 2\pi k \ ∧ \ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \ \ $$

E così via.