Il valore delle funzioni trigonometriche di 30 (π/6)

Un angolo π/6 radianti (pi greco sesti) equivale a un angolo di 30° gradi.

Quanto vale il seno e il coseno di π/6 radianti? Quanto la tangente e la cotangente?

Posso calcolare il valore delle funzioni trigonometriche di un angolo π/6 tramite semplici considerazioni geometriche.

Prendo in considerazione una circonferenza goniometrica.

la circonferenza goniometrica

Si tratta di una circonferenza con raggio unitario r=1.

Traccio un segmento OP con un angolo orientato di π/6 rad rispetto all'asse delle ascisse.

un angolo di pi greco sesti

Proietto le coordinate del punto P sull'asse delle ordinate (y) e delle ascisse (x).

Ottengo due punti A e B sugli assi cartesiani.

la proiezione sugli assi

Unisco i punti OPA e ottengo un triangolo rettangolo.

Un triangolo rettangolo è composto da un angolo retto π/2 (90°) e due angoli acuti complementari pari a π/3 rad (30°) e π/6 rad (60°).

il triangolo iscritto nella circonferenza

Prolungo il cateto PA e trovo un altro punto C sulla circonferenza goniometrica.

il prolungamento del cateto PA

Ottengo un altro triangolo rettangolo OAC identico al precedente.

il triangolo OAC

Unisco i due triangoli OPA e OAC tra loro.

Il risultato è un triangolo OPC.

l'unione dei triangoli

Tutti gli angoli del triangolo OPC sono pari a π/3 radianti (60°).

Quindi il triangolo OPC è un triangolo equilatero.

il triangolo equilatero con lati uguali a 1

Essendo inscritto in una circonferenza goniometrica, tutti i lati del triangolo sono uguali al raggio (r=1) della circonferenza goniometrica.

$$ \overline{OP} = \overline{PC} = \overline{OC} = 1 $$

Una volta nota la lunghezza del segmento PC = 1, ottengo indirettamente anche la lunghezza del segmento PA in quanto è pari alla metà di PC

$$ \overline{PA} = \frac{1}{2} \overline{PC} $$

$$ \overline{PA} = \frac{1}{2} \cdot 1 $$

$$ \overline{PA} = \frac{1}{2} $$

Il segmento PC è il seno dell'angolo π/6.

il seno di pi greco sesti è un mezzo

Ho così trovato il seno dell'angolo π/6.

$$ \sin π/3 = \frac{1}{2} $$

Ora conosco la lunghezza di un cateto PA=1/2 e dell'ipotenusa OP=1 del triangolo OPA.

Per calcolare il cateto mancante OA applico il teorema di Pitagora.

$$ \overline{OA} = \sqrt{\overline{OP}^2- \overline{PA}^2 } $$

$$ \overline{OA} = \sqrt{1- \frac{1}{2}^2 } $$

$$ \overline{OA} = \sqrt{1- \frac{1}{4} } $$

$$ \overline{OA} = \sqrt{\frac{4-1}{4} } $$

$$ \overline{OA} = \sqrt{\frac{3}{4} } $$

$$ \overline{OA} = \frac{ \sqrt{3} } {2} $$

Il segmento OA è il coseno dell'angolo π/6.

il coseno di pi greco sesti

Ho così trovato il coseno dell'angolo π/6.

$$ \cos π/3 = \frac{ \sqrt{3} } {2} $$

Una volta noti i valori del seno e del coseno è facile calcolare il valore della tangente di π/6.

$$ \tan π/3 = \frac{ \sin π/3 }{ \cos π/3 } $$

$$ \tan π/3 = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} } {2} } $$

$$ \tan π/3 =\frac{1}{2} \cdot \frac{ 2 } { \sqrt{3} } $$

$$ \tan π/3 =\frac{ 1} { \sqrt{3} } $$

Moltiplico numeratore e deonominatore per la radice di 3.

$$ \tan π/3 =\frac{ 1} { \sqrt{3} } \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{ 3 } $$

Allo stesso modo posso ottenere la cotangente di π/6.

$$ cotg \ π/3 = \frac{ \cos π/3 }{ \sin π/3 } $$

$$ cotg \ π/3 = \frac{ \frac{ \sqrt{3} } {2} }{ \frac{1}{2} } $$

$$ cotg \ π/3 = \frac{ \sqrt{3} } {2} \cdot \frac{2}{1} $$

$$ cotg \ π/3 = \sqrt{3} $$

Con semplici considerazioni geometriche ho calcolato i valori delle funzioni trigonometriche di un angolo di 30° (π/6).

E così via.

 


 

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