Il valore delle funzioni trigonometriche di 30° (π/6)
Un angolo π/6 radianti (pi greco sesti) equivale a un angolo di 30° gradi.
Quanto vale il seno e il coseno di π/6 radianti? Quanto la tangente e la cotangente?
Posso calcolare il valore delle funzioni trigonometriche di un angolo π/6 tramite semplici considerazioni geometriche.
Prendo in considerazione una circonferenza goniometrica.
Si tratta di una circonferenza con raggio unitario r=1.
Traccio un segmento OP con un angolo orientato di π/6 rad rispetto all'asse delle ascisse.
Proietto le coordinate del punto P sull'asse delle ordinate (y) e delle ascisse (x).
Ottengo due punti A e B sugli assi cartesiani.
Unisco i punti OPA e ottengo un triangolo rettangolo.
Un triangolo rettangolo è composto da un angolo retto π/2 (90°) e due angoli acuti complementari pari a π/3 rad (30°) e π/6 rad (60°).
Prolungo il cateto PA e trovo un altro punto C sulla circonferenza goniometrica.
Ottengo un altro triangolo rettangolo OAC identico al precedente.
Unisco i due triangoli OPA e OAC tra loro.
Il risultato è un triangolo OPC.
Tutti gli angoli del triangolo OPC sono pari a π/3 radianti (60°).
Quindi il triangolo OPC è un triangolo equilatero.
Essendo inscritto in una circonferenza goniometrica, tutti i lati del triangolo sono uguali al raggio (r=1) della circonferenza goniometrica.
$$ \overline{OP} = \overline{PC} = \overline{OC} = 1 $$
Una volta nota la lunghezza del segmento PC = 1, ottengo indirettamente anche la lunghezza del segmento PA in quanto è pari alla metà di PC
$$ \overline{PA} = \frac{1}{2} \overline{PC} $$
$$ \overline{PA} = \frac{1}{2} \cdot 1 $$
$$ \overline{PA} = \frac{1}{2} $$
Il segmento PC è il seno dell'angolo π/6.
Ho così trovato il seno dell'angolo π/6.
$$ \sin π/6 = \frac{1}{2} $$
Ora conosco la lunghezza di un cateto PA=1/2 e dell'ipotenusa OP=1 del triangolo OPA.
Per calcolare il cateto mancante OA applico il teorema di Pitagora.
$$ \overline{OA} = \sqrt{\overline{OP}^2- \overline{PA}^2 } $$
$$ \overline{OA} = \sqrt{1- \frac{1}{2}^2 } $$
$$ \overline{OA} = \sqrt{1- \frac{1}{4} } $$
$$ \overline{OA} = \sqrt{\frac{4-1}{4} } $$
$$ \overline{OA} = \sqrt{\frac{3}{4} } $$
$$ \overline{OA} = \frac{ \sqrt{3} } {2} $$
Il segmento OA è il coseno dell'angolo π/6.
Ho così trovato il coseno dell'angolo π/6.
$$ \cos π/6 = \frac{ \sqrt{3} } {2} $$
Una volta noti i valori del seno e del coseno è facile calcolare il valore della tangente di π/6.
$$ \tan π/6 = \frac{ \sin π/6 }{ \cos π/6 } $$
$$ \tan π/6 = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} } {2} } $$
$$ \tan π/6 =\frac{1}{2} \cdot \frac{ 2 } { \sqrt{3} } $$
$$ \tan π/6 =\frac{ 1} { \sqrt{3} } $$
Moltiplico numeratore e deonominatore per la radice di 3.
$$ \tan π/6 =\frac{ 1} { \sqrt{3} } \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{ 3 } $$
Allo stesso modo posso ottenere la cotangente di π/6.
$$ cotg \ π/6 = \frac{ \cos π/6 }{ \sin π/6 } $$
$$ cotg \ π/6 = \frac{ \frac{ \sqrt{3} } {2} }{ \frac{1}{2} } $$
$$ cotg \ π/6 = \frac{ \sqrt{3} } {2} \cdot \frac{2}{1} $$
$$ cotg \ π/6 = \sqrt{3} $$
Con semplici considerazioni geometriche ho calcolato i valori delle funzioni trigonometriche di un angolo di 30° (π/6).
E così via.
