Il valore delle funzioni trigonometriche di 60° (π/3)
Un angolo π/3 radianti (pi greco terzi) equivale a un angolo di 60° gradi.
Quanto vale il seno e il coseno di π/3 radianti? Quanto la tangente e la cotangente?
Provo a calcolare il valore delle funzioni trigonometriche di un angolo π/3 facendo alcune considerazioni geometriche.
La circonferenza goniometrica ha un raggio pari a uno r=1.
Traccio un segmento OP con un angolo orientato di π/3 radianti rispetto all'asse delle ascisse.
Proietto le coordinate del punto P sull'asse delle ordinate (y) e delle ascisse (x).
Ottengo due punti A e B sugli assi cartesiani.
Unisco i punti OPA e ottengo un triangolo rettangolo composto da un angolo retto π/2 (90°) e due angoli complementari pari a π/3 rad (60°) e π/6 rad (30°).
Ora considero il punto di origine C sull'asse orizzontale.
Traccio un segmento PC e ottengo un altro rettangolo OPC con gli stessi angoli del precedente, un angolo retto π/2 (90°) e due angoli complementari pari a π/3 rad (60°) e π/6 rad (30°).
Traccio dei segmenti tra i punti OPC e ottengo un rettangolo con tutti gli angoli uguali a π/3 rad (60°).
Pertanto, i lati del triangolo OPC sono lati congruenti e hanno la stessa lunghezza OP=OC=PC.
La lunghezza del segmento OP coincide con il raggio r=1. Quindi tutti i lati sono pari a uno OP=OC=PC = 1
Il segmento OA è esattamente la metà del segmento OC = 1.
$$ \overline{OA} = \frac{1}{2} \cdot \overline{OC} $$
$$ \overline{OA} = \frac{1}{2} \cdot 1 $$
$$ \overline{OA} = \frac{1}{2} $$
Ho trovato la lunghezza del segmento OA che coincide con il coseno di 60° (π/3).
Ho così trovato il coseno dell'angolo π/3.
$$ \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} $$
Riprendo il triangolo rettangolo iniziale OPA.
Ora conosco sia l'ipotenusa OP=1 e sia il coseno OA=1/2.
Applico il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza del segmento PA.
$$ \overline{PA} = \sqrt{ \overline{OP}^2 - \overline{OA}^2 } $$
$$ \overline{PA} = \sqrt{ 1^2 - (\frac{1}{2})^2 } $$
$$ \overline{PA} = \sqrt{ 1 - \frac{1}{4} } $$
$$ \overline{PA} = \sqrt{ \frac{4-1}{4} } $$
$$ \overline{PA} = \sqrt{ \frac{3}{4} } $$
$$ \overline{PA} = \frac{\sqrt{ 3 }}{2} $$
Ho trovato anche la lunghezza del lato PA ossia del seno di 60° (π/4).
Quindi il seno dell'angolo π/3 è
$$ \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
Una volta noti i valori del seno e del coseno calcolo la tangente di π/3.
$$ \tan \frac{π}{3} = \frac{ \sin \frac{π}{3} }{ \cos \frac{π}{3} } $$
$$ \tan \frac{π}{3} = \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2} }{ \frac{1}{2} } $$
$$ \tan \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 $$
$$ \tan \frac{π}{3} = \sqrt{3} $$
Poi calcolo la cotangente di π/3.
$$ cotg \ \frac{π}{3} = \frac{ \cos \frac{π}{3} }{ \sin \frac{π}{3} } $$
$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{\sqrt{3}}{2} } $$
$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$
$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$
Moltiplico e divido il secondo membro per la radice di 3
$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } $$
$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
In questo modo ho calcolato i valori delle funzioni trigonometriche di un angolo di 60° (π/3) con semplici considerazioni geometriche.
E così via.
