Il valore delle funzioni trigonometriche di 45 (π/4)

Un angolo π/4 radianti (pi greco quarti) equivale a un angolo di 45° gradi.

Quanto vale il seno e il coseno di π/4 radianti? Quanto la tangente e la cotangente?

Posso calcolare il valore delle funzioni trigonometriche di un angolo π/4 tramite semplici considerazioni geometriche.

Prendo in considerazione una circonferenza goniometrica.

la circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica ha un raggio unitario r=1.

Traccio un segmento OP con un angolo orientato di π/4 radianti rispetto all'asse delle ascisse.

un angolo di pi greco quarti

Proietto le coordinate del punto P sull'asse delle ordinate (y) e delle ascisse (x).

Ottengo due punti A e B sugli assi cartesiani.

la proiezione sugli assi

Unisco i punti OPA e ottengo un triangolo rettangolo composto da un angolo retto π/2 (90°) e due angoli congruenti pari a π/4 rad (45°).

il triangolo iscritto nella circonferenza

Poiché ha due angoli congruenti (45°) si tratta anche di un triangolo isoscele.

Quindi, il triangolo ha due lati uguali OA=PA di lunghezza sconosciuta.

$$ \overline{OA} = \overline{PA} $$

La lunghezza del lato OP è invece nota perché è uguale al raggio r=1 della circonferenza goniometrica.

$$ \overline{OP} = 1 $$

Applico il teorema di Pitagora.

$$ \overline{OA}^2 + \overline{PA}^2 = \overline{OP}^2 $$

Sapendo che l'ipotenusa è OP=1

$$ \overline{OA}^2 + \overline{PA}^2 = 1^2 $$

$$ \overline{OA}^2 + \overline{PA}^2 = 1 $$

Essendo un triangolo isoscele, i segmenti OA=OP sono uguali.

Quindi posso sostituire nell'equazione PA con OA.

$$ \overline{OA}^2 + \overline{OA}^2 = 1 $$

$$ 2 \overline{OA}^2 = 1 $$

Metto in evidenza il segmento OA

$$ \overline{OA}^2 = \frac{1}{2} $$

Poi calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione.

$$ \sqrt{ \overline{OA}^2 } = \sqrt{ \frac{1}{2} } $$

$$ \overline{OA} = \sqrt{ \frac{1}{2} } $$

$$ \overline{OA} = \frac{1}{\sqrt{2} } $$

Moltiplico e divido il secondo membro per radice di due.

$$ \overline{OA} = \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } $$

$$ \overline{OA} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ho trovato la lunghezza del segmento OA che coincide con il coseno di 45° (π/4).

il coseno dell'angolo 45°

Ho così trovato il coseno dell'angolo π/4.

$$ \cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Sapendo che i lati OA e PA hanno la stessa lunghezza perché il triangolo è isoscele.

$$ \overline{PA} = \overline{OA} $$

$$ \overline{PA} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

In questo modo ho trovato anche la lunghezza del lato PA ossia del seno di 45° (π/4).

il seno di 45°

Quindi il seno dell'angolo π/4 è

$$ \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Una volta noti i valori del seno e del coseno calcolo la tangente di π/4.

$$ \tan \frac{π}{4} = \frac{ \sin \frac{π}{4} }{ \cos \frac{π}{4} } $$

$$ \tan \frac{π}{4} = \frac{ \frac{\sqrt{2}}{2} }{ \frac{\sqrt{2}}{2} } $$

$$ \tan \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} $$

$$ \tan \frac{π}{4} = 1 $$

Poi calcolo la cotangente di π4/.

$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{ \cos \frac{π}{4} }{ \sin \frac{π}{4} } $$

$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{ \frac{\sqrt{2}}{2} }{ \frac{\sqrt{2}}{2} } $$

$$ cotg \ \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} $$

$$ cotg \ \frac{π}{4} = 1 $$

In questo modo ho calcolato i valori delle funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di 45° (π/4) tramite semplici considerazioni geometriche.

E così via.

 


 

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