Come calcolare angoli e lati di un triangolo con la trigonometria
- Per risolvere un triangolo con la trigonometria, devo conoscere almeno
- un lato e due angoli
- due lati e l'angolo tra i lati (o opposto a uno dei due lati)
- tre lati
La risoluzione di un triangolo consiste nel trovare la lunghezza dei lati e l'ampiezza degli angoli.
Un esempio pratico
A seconda dei dati iniziali posso seguire diverse strade
Esempio 1
In questo esempio conosco la lunghezza di un lato e l'ampiezza di due angoli del triangolo
La lunghezza del lato è
¯AB=10
Gli angoli conosciuti sono
α=45°
γ=65°
Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è sempre pari a 180° (p radianti)
α+β+γ=180°
Trovo l'ampiezza dell'angolo mancante per differenza, poiché conosco gli angoli α=45° e γ=65°.
β=180°−α−γ
β=180°−45°−65°
β=70°
L'ampiezza dell'angolo mancante è β=70°
A questo punto posso determinare la lunghezza dei lati usando il teorema dei seni, in base al quale ogni lato di un triangolo è proporzionale al seno dell'angolo opposto.
¯ABsinγ=¯BCsinα=¯ACsinβ
Calcolo la lunghezza del lato BC sapendo che AB = 10, γ=65° e α=45°
¯ABsinγ=¯BCsinα
10sin65°=¯BCsin45°
¯BC=10sin65°⋅sin45°
¯BC=7,802
Calcolo la lunghezza del lato AC sapendo che AB = 10, γ=65° e β=70°
¯ABsinγ=¯ACsinβ
10sin65°=¯ACsin70°
¯AC=10sin65°⋅sin70°
¯AC=10,368
Quindi le lunghezze dei lati mancanti sono BC=7,802 e AC=10,368
Il triangolo è risolto poiché conosco l'ampiezza di tutti gli angoli e la lunghezza di tutti i lati.
Esempio 2
In quest'altro esempio conosco la lunghezza di due lati e dell'angolo compreso tra i due lati.
La lunghezza dei lati è
¯AB=10
¯BC=7,802
L'angolo compreso tra i due lati è
β=70°
In questo caso posso applicare il teorema del coseno, in base al quale il quadrato di un lato AC2 è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati AB2+BC2 meno il doppio prodotto 2·AB·BC per il coseno dell'angolo compreso (β) tra AB e BC.
¯AC2=¯AB2+¯BC2−2¯AB⋅¯BC⋅cosβ
Sapendo che l'angolo β=70° e la lunghezza dei lati noti è AB=10 e AC=7,8
¯AC2=102+7,8022−2⋅10⋅7,802⋅cos70°
¯AC2=100+60,871−2⋅78,02⋅cos70°
¯AC2=160,84−156,04⋅cos70°
¯AC2=107,502
Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione
√¯AC2=√107,502
¯AC=10,368
In questo modo ottengo la lunghezza del lato mancante AC=10,368.
A questo punto, note le lunghezze dei lati del triangolo uso di nuovo il teorema del coseno per calcolare gli angoli mancanti alfa e gamma.
¯AB2=¯BC2+¯AC2−2¯BC⋅¯AC⋅cosγ
Metto in evidenza il coseno di gamma.
¯AB2−¯BC2−¯AC2=−2⋅¯BC⋅¯AC⋅cosγ
¯BC2+¯AC2−¯AB2=2⋅¯BC⋅¯AC⋅cosγ
cosγ=¯BC2+¯AC2−¯AB22⋅¯BC⋅¯AC
cosγ=7,8022+10,3682−1022⋅7,802⋅10,368
cosγ=0,4226
Applico l'arcocoseno a entrambi i membri e ottengo l'ampiezza dell'angolo gamma.
arccos(cosγ)=arccos(0,4226)
γ=65°
Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è 180°
α+β+γ=180°
Una volta noti gli angoli gamma e beta, ottengo l'angolo alfa per differenza
α=180°−β−γ
α=180°−70°−65°
α=45°
Ora conosco tutti gli angoli e i lati del triangolo.
Nota. In alternativa per calcolare l'angolo gamma potrei anche utilizzare il teorema del seno. ¯ABsinγ=¯BCsinα=¯ACsinβ In questo caso conosco l'angolo β=70°, quindi lo utilizzo per calcolare uno degli altri due angoli. Ad esempio l'angolo gamma. ¯ABsinγ=¯ACsinβ 10sinγ=10,368sin70° sinγ=10⋅sin70°10,368=0,91 sinγ=0,91 Applico l'arcoseno a entrambi i membri dell'equazione per calcolare l'angolo gamma arcsin(sinγ)=arcsin(0,91) γ=65° Tuttavia, in questo caso non conviene usare il teorema del seno. Perché per ogni valore k del seno sin(α)=k ci sono due angoli tra cui scegliere. E' meglio usare il coseno perché per ogni valore k del coseno cos(α)=k c'è un solo angolo perché l'altro angolo che determina il valore k è opposto al primo.
Esempio 3
In quest'altro esempio conosco la lunghezza di due lati e dell'angolo opposto a uno dei due lati.
La lunghezza dei lati è
¯AB=10
¯BC=7,802
L'angolo gamma γ è l'angolo opposto al lato AB
γ=65°
Per risolvere il problema uso il teorema del seno.
¯ABsinγ=¯BCsinα=¯ACsinβ
10sin65°=7,802sinα=¯ACsinβ
Per prima cosa calcolo l'angolo α
10sin65°=7,802sinα
sinα=7,80210⋅sin65°
sinα=0,7071
Poi applico l'arcoseno a entrambi i membri dell'equazione
arcsin(sinα)=arcsin(0,7071)
sinα=45°
Il risultato è l'angolo α=45°
Nota. Devo comunque ricordarmi che il teorema del seno non sempre è utilizzabile. In questo caso mi permette di calcolare un angolo minore di 90° poiché il valore del seno è compreso tra 0 e 1.
Una volta noti due angoli del triangolo, calcolo l'angolo restante per differenza sapendo che la somma degli angoli è sempre pari a 180°.
α+β+γ=180°
β=180°−α−γ
β=180°−45°−65°
β=70°
Ora conosco tutti gli angoli del triangolo.
Per calcolare la lunghezza del lato AC utilizzo il teorema del coseno.
¯AC2=¯AB2+¯BC2−2¯AB⋅¯BC⋅cosβ
¯AC2=102+7.8022−2⋅10⋅7.802⋅cos70°
¯AC2=100+60,871−2⋅78,02⋅cos70°
¯AC2=160,84−156,04⋅cos70°
¯AC2=107,502
Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione
√¯AC2=√107,502
¯AC=10,368
Il risultato è la lunghezza del lato mancante AC=10,368 e il triangolo è risolto.
Esempio 4
In questo caso conosco le lunghezze dei lati del triangolo ma non gli angoli.
I lati del triangolo sono
¯AB=10
¯BC=7,802
¯AC=10,368
Calcolo l'angolo beta usando il teorema del coseno.
¯AC2=¯AB2+¯BC2−2¯AB⋅¯BC⋅cosβ
10,3682=102+7,8022−2⋅10⋅7,802⋅cosβ
107,495424=100+60,871204−156,04⋅cosβ
107,495424−100−60,871204=−156,04⋅cosβ
−53,37578=−156,04⋅cosβ
Moltiplico per -1 entrambi i membri dell'equazione
53,37578=156,04⋅cosβ
53,37578156,04=cosβ
cosβ=0,34206472699
Applico l'arcocoseno a entrambi i membri dell'equazione
arccos(cosβ)=arccos(0,34206472699)
β=arccos(0,34206472699)
β=70°
L'ampiezza dell'angolo beta è β=70°
Per calcolare l'angolo alfa utilizzo di nuovo il teorema del coseno.
¯BC2=¯AB2+¯AC2−2¯AB⋅¯AC⋅cosα
7,8022=102+10,3682−2⋅10⋅10,368⋅cosα
60,871204=100+107,495424−207,36⋅cosα
60,871204−100−107,495424=−207,36⋅cosα
−146,62422=−207,36⋅cosα
Moltiplico per -1 entrambi i membri dell'equazione
146,62422=207,36⋅cosα
146,62422207,36=cosα
cosα=0,70709982638
Applico l'arcocoseno a entrambi i membri dell'equazione
arccos(cosα)=arccos(0,70709982638)
α=45°
L'ampiezza dell'angolo alfa è α=45°
A questo punto è facile calcolare l'angolo gamma per differenza perché la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°.
α+β+γ=180°
γ=180°−α−β
γ=180°−45°−70°
γ=65°
L'ampiezza dell'angolo gamma è γ=65°
Ora conosco tutti i lati e gli angoli del triangolo.
Il triangolo è risolto.
E così via.