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Come calcolare angoli e lati di un triangolo con la trigonometria

    Per risolvere un triangolo con la trigonometria, devo conoscere almeno

  • un lato e due angoli
  • due lati e l'angolo tra i lati (o opposto a uno dei due lati)
  • tre lati

La risoluzione di un triangolo consiste nel trovare la lunghezza dei lati e l'ampiezza degli angoli.

    Un esempio pratico

    A seconda dei dati iniziali posso seguire diverse strade

    Esempio 1

    In questo esempio conosco la lunghezza di un lato e l'ampiezza di due angoli del triangolo

    un triangolo di esempio

    La lunghezza del lato è

    ¯AB=10

    Gli angoli conosciuti sono

    α=45°

    γ=65°

    Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è sempre pari a 180° (p radianti)

    α+β+γ=180°

    Trovo l'ampiezza dell'angolo mancante per differenza, poiché conosco gli angoli α=45° e γ=65°.

    β=180°αγ

    β=180°45°65°

    β=70°

    L'ampiezza dell'angolo mancante è β=70°

    l'ampiezza dell'angolo beta

    A questo punto posso determinare la lunghezza dei lati usando il teorema dei seni, in base al quale ogni lato di un triangolo è proporzionale al seno dell'angolo opposto.

    ¯ABsinγ=¯BCsinα=¯ACsinβ

    Calcolo la lunghezza del lato BC sapendo che AB = 10, γ=65° e α=45°

    ¯ABsinγ=¯BCsinα

    10sin65°=¯BCsin45°

    ¯BC=10sin65°sin45°

    ¯BC=7,802

    Calcolo la lunghezza del lato AC sapendo che AB = 10, γ=65° e β=70°

    ¯ABsinγ=¯ACsinβ

    10sin65°=¯ACsin70°

    ¯AC=10sin65°sin70°

    ¯AC=10,368

    Quindi le lunghezze dei lati mancanti sono BC=7,802 e AC=10,368

    le lunghezze dei lati AC e BC

    Il triangolo è risolto poiché conosco l'ampiezza di tutti gli angoli e la lunghezza di tutti i lati.

    Esempio 2

    In quest'altro esempio conosco la lunghezza di due lati e dell'angolo compreso tra i due lati.

    il triangolo da risolvere

    La lunghezza dei lati è

    ¯AB=10

    ¯BC=7,802

    L'angolo compreso tra i due lati è

    β=70°

    In questo caso posso applicare il teorema del coseno, in base al quale il quadrato di un lato AC2 è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati AB2+BC2 meno il doppio prodotto 2·AB·BC per il coseno dell'angolo compreso (β) tra AB e BC.

    ¯AC2=¯AB2+¯BC22¯AB¯BCcosβ

    Sapendo che l'angolo β=70° e la lunghezza dei lati noti è AB=10 e AC=7,8

    ¯AC2=102+7,80222107,802cos70°

    ¯AC2=100+60,871278,02cos70°

    ¯AC2=160,84156,04cos70°

    ¯AC2=107,502

    Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

    ¯AC2=107,502

    ¯AC=10,368

    In questo modo ottengo la lunghezza del lato mancante AC=10,368.

    la lunghezza del lato AC

    A questo punto, note le lunghezze dei lati del triangolo uso di nuovo il teorema del coseno per calcolare gli angoli mancanti alfa e gamma.

    ¯AB2=¯BC2+¯AC22¯BC¯ACcosγ

    Metto in evidenza il coseno di gamma.

    ¯AB2¯BC2¯AC2=2¯BC¯ACcosγ

    ¯BC2+¯AC2¯AB2=2¯BC¯ACcosγ

    cosγ=¯BC2+¯AC2¯AB22¯BC¯AC

    cosγ=7,8022+10,368210227,80210,368

    cosγ=0,4226

    Applico l'arcocoseno a entrambi i membri e ottengo l'ampiezza dell'angolo gamma.

    arccos(cosγ)=arccos(0,4226)

    γ=65°

    Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è 180°

    α+β+γ=180°

    Una volta noti gli angoli gamma e beta, ottengo l'angolo alfa per differenza

    α=180°βγ

    α=180°70°65°

    α=45°

    Ora conosco tutti gli angoli e i lati del triangolo.

    le lunghezze dei lati AC e BC

    Nota. In alternativa per calcolare l'angolo gamma potrei anche utilizzare il teorema del seno. ¯ABsinγ=¯BCsinα=¯ACsinβ In questo caso conosco l'angolo β=70°, quindi lo utilizzo per calcolare uno degli altri due angoli. Ad esempio l'angolo gamma. ¯ABsinγ=¯ACsinβ 10sinγ=10,368sin70° sinγ=10sin70°10,368=0,91 sinγ=0,91 Applico l'arcoseno a entrambi i membri dell'equazione per calcolare l'angolo gamma arcsin(sinγ)=arcsin(0,91) γ=65° Tuttavia, in questo caso non conviene usare il teorema del seno. Perché per ogni valore k del seno sin(α)=k ci sono due angoli tra cui scegliere. E' meglio usare il coseno perché per ogni valore k del coseno cos(α)=k c'è un solo angolo perché l'altro angolo che determina il valore k è opposto al primo.

    Esempio 3

    In quest'altro esempio conosco la lunghezza di due lati e dell'angolo opposto a uno dei due lati.

    il problema da risolvere

    La lunghezza dei lati è

    ¯AB=10

    ¯BC=7,802

    L'angolo gamma γ è l'angolo opposto al lato AB

    γ=65°

    Per risolvere il problema uso il teorema del seno.

    ¯ABsinγ=¯BCsinα=¯ACsinβ

    10sin65°=7,802sinα=¯ACsinβ

    Per prima cosa calcolo l'angolo α

    10sin65°=7,802sinα

    sinα=7,80210sin65°

    sinα=0,7071

    Poi applico l'arcoseno a entrambi i membri dell'equazione

    arcsin(sinα)=arcsin(0,7071)

    sinα=45°

    Il risultato è l'angolo α=45°

    l'angolo alfa è pari a 45°

    Nota. Devo comunque ricordarmi che il teorema del seno non sempre è utilizzabile. In questo caso mi permette di calcolare un angolo minore di 90° poiché il valore del seno è compreso tra 0 e 1.

    Una volta noti due angoli del triangolo, calcolo l'angolo restante per differenza sapendo che la somma degli angoli è sempre pari a 180°.

    α+β+γ=180°

    β=180°αγ

    β=180°45°65°

    β=70°

    Ora conosco tutti gli angoli del triangolo.

    l'angolo beta è 70°

    Per calcolare la lunghezza del lato AC utilizzo il teorema del coseno.

    ¯AC2=¯AB2+¯BC22¯AB¯BCcosβ

    ¯AC2=102+7.80222107.802cos70°

    ¯AC2=100+60,871278,02cos70°

    ¯AC2=160,84156,04cos70°

    ¯AC2=107,502

    Calcolo la radice quadrata a entrambi i membri dell'equazione

    ¯AC2=107,502

    ¯AC=10,368

    Il risultato è la lunghezza del lato mancante AC=10,368 e il triangolo è risolto.

    il triangolo è risolto

    Esempio 4

    In questo caso conosco le lunghezze dei lati del triangolo ma non gli angoli.

    i lati del triangolo

    I lati del triangolo sono

    ¯AB=10

    ¯BC=7,802

    ¯AC=10,368

    Calcolo l'angolo beta usando il teorema del coseno.

    ¯AC2=¯AB2+¯BC22¯AB¯BCcosβ

    10,3682=102+7,80222107,802cosβ

    107,495424=100+60,871204156,04cosβ

    107,49542410060,871204=156,04cosβ

    53,37578=156,04cosβ

    Moltiplico per -1 entrambi i membri dell'equazione

    53,37578=156,04cosβ

    53,37578156,04=cosβ

    cosβ=0,34206472699

    Applico l'arcocoseno a entrambi i membri dell'equazione

    arccos(cosβ)=arccos(0,34206472699)

    β=arccos(0,34206472699)

    β=70°

    L'ampiezza dell'angolo beta è β=70°

    l'ampiezza dell'angolo beta

    Per calcolare l'angolo alfa utilizzo di nuovo il teorema del coseno.

    ¯BC2=¯AB2+¯AC22¯AB¯ACcosα

    7,8022=102+10,368221010,368cosα

    60,871204=100+107,495424207,36cosα

    60,871204100107,495424=207,36cosα

    146,62422=207,36cosα

    Moltiplico per -1 entrambi i membri dell'equazione

    146,62422=207,36cosα

    146,62422207,36=cosα

    cosα=0,70709982638

    Applico l'arcocoseno a entrambi i membri dell'equazione

    arccos(cosα)=arccos(0,70709982638)

    α=45°

    L'ampiezza dell'angolo alfa è α=45°

    l'angolo alfa è 45°

    A questo punto è facile calcolare l'angolo gamma per differenza perché la somma degli angoli di un triangolo è sempre 180°.

    α+β+γ=180°

    γ=180°αβ

    γ=180°45°70°

    γ=65°

    L'ampiezza dell'angolo gamma è γ=65°

    il triangolo è risolto

    Ora conosco tutti i lati e gli angoli del triangolo.

    Il triangolo è risolto.

    E così via.

     


     

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