Angoli associati α e 3π/2+α
In trigonometria gli angoli alfa (α) e 3π/2+α sono angoli associati e hanno queste formule di trasformazione. $$ \sin( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ) = - \cos(\alpha) $$ $$ \cos( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ) = \sin(\alpha) $$ $$ \tan( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ) = - \cot(\alpha) $$ $$ \cot( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ) = - \tan(\alpha) $$
Gli angoli α e 3π/2+α (270°+α) sono angoli associati, quindi hanno lo stesso valore assoluto nelle funzioni trigonometriche, seno, coseno, tangente e cotangente.
Dimostrazione e spiegazione
Considero un angolo α e l'angolo 3π/2+α su una circonferenza goniometrica.
I due angoli differiscono tra loro di 270° ossia di 3π/2.
Pertanto, i triangoli rettangolo OAB e OCD sono triangoli congruenti (uguali) perché hanno lo stesso angolo acuto (α) e la stessa lunghezza dell'ipotenusa (OA=OC).
Essendo congruenti i due triangoli hanno gli stessi angoli e la stessa lunghezza dei lati.
Il segmento OB è uguale al segmento OD.
Il segmento OB misura il coseno di α sulle ascisse positive mentre il segmento OD misura il seno di 3π/2+α sulle ordinate negative.
$$ - \sin ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = \cos \alpha $$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1
$$ (-1) \cdot ( - \sin ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) ) = (-1) \cdot \cos \alpha $$
$$ \sin ( \frac{\pi}{2} + \alpha = - \cos \alpha $$
Pertanto, il seno di 3π/2+α è uguale al valore opposto del coseno di α.
$$ \sin ( \frac{\pi}{2} + \alpha = - \cos \alpha $$
Il segmento AB è uguale al segmento CD
Il segmento AB coincide con il seno di α mentre il segmento CD con il coseno di 3π/2+α
Pertanto, il coseno di 3π/2+α è uguale al valore del seno di α.
$$ \cos ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \sin \alpha $$
Una volte ottenute le formule di trasformazione del seno e del coseno, ottengo indirettamente anche le formule della tangente e della cotangente.
La tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.
$$ \tan ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \sin (3 \frac{\pi}{2} + \alpha) }{ \cos (3 \frac{\pi}{2} + \alpha) } $$
Sapendo che sin(3π/2+α) = - cos(α) e cos(3π/2+α) = sin(α)
$$ \tan ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \sin (3 \frac{\pi}{2} + \alpha) }{ \cos (3 \frac{\pi}{2} + \alpha) } = \frac{ - \cos \alpha }{ \sin \alpha } = - \cot \alpha $$
Quindi, la tangente dell'angolo 3π/2+α è uguale a meno cotangente di α.
La cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.
$$ \cot ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{3 \pi}{2} + \alpha) }{ \sin (3 \frac{\pi}{2} + \alpha) } $$
Sapendo che sin(3π/2+α) = - cos(α) e cos(3π/2+α) = sin(α)
$$ \cot ( \frac{3 \pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{3 \pi}{2} + \alpha) }{ \sin (3 \frac{\pi}{2} + \alpha) } = \frac{ \sin \alpha }{ - \cos \alpha } = - \tan \alpha $$
Pertanto, la cotangente dell'angolo 3π/2+α è uguale a meno tangente di α.
Un esempio pratico
Devo calcolare il seno di 330°
$$ \sin 330° $$
Riscrivo i gradi come somma di 270° + 60°
$$ \sin (270° + 60°) $$
che in radianti diventa
$$ \sin (\frac{3 \pi}{2} + \frac{\pi}{3} ) $$
Gli angoli 3π/2+α e α sono angoli associati dove α=π/3 (ossia 60°)
$$ \sin( \frac{3 \pi }{2} + \alpha ) = - \cos(\alpha) $$
$$ \sin( \frac{3 \pi }{2} + \frac{\pi}{3} ) = - \cos( \frac{\pi}{3} ) $$
Quindi, il seno di 270° è uguale al valore opposto del coseno di 60°
Sapendo che il coseno di 60° è 1/2, il suo valore opposto è -1/2.
$$ \sin( \frac{3 \pi }{2} + \frac{\pi}{3} ) = - \cos( \frac{\pi}{3} ) = - \frac{1}{2} $$
Pertanto, il seno di 270° è -1/2
$$ \sin 330° = - \frac{1}{2} $$
In conclusione, la riduzione della funzione trigonometrica sin(330°) al primo quadrante come -1·cos(60°) mi ha reso più facile il calcolo
E così via.
