Angoli associati α e 3π/2-α
In trigonometria gli angoli associati alfa (α) e 3π/2-α mi permettono di usare queste formule di trasformazione. $$ \sin( \frac{3 \pi }{2} - \alpha ) = - \cos(\alpha) $$ $$ \cos( \frac{3 \pi }{2} - \alpha ) = - \sin(\alpha) $$ $$ \tan( \frac{3 \pi }{2} - \alpha ) = \cot(\alpha) $$ $$ \cot( \frac{3 \pi }{2} - \alpha ) = \tan(\alpha) $$
Gli angoli α e 3π/2-α sono angoli associati, quindi hanno lo stesso valore assoluto nelle funzioni trigonometriche, seno, coseno, tangente e cotangente.
Dimostrazione e spiegazione
Considero un angolo α e l'angolo 3π/2-α su una circonferenza goniometrica.
Costruisco due rettangoli rettangolo OAB e OCD nella circonferenza trigonometrica.
I due triangoli rettangolo OAB e OCD sono congruenti (uguali) perché hanno lo stesso angolo acuto (α) e la stessa ipotenusa.
Quindi i lati dei triangoli hanno le stesse lunghezze.
Nota. Sapendo che la somma degli angoli di un triangolo è π (180°), il triangolo rettangolo OCD ha un angolo di 90° (π/2) e un angolo di (π/2-α) nel III quadrante. L'angolo restante lo trovo per differenza ed pari ad α. $$ \pi = \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2} - \alpha ) + \alpha $$
Il segmento CD è uguale al segmento OB.
Dove il segmento CD misura il seno di 3π/2-α sulle ordinate negative mentre il segmento OB il coseno di α sulle ascisse positive.
$$ - \sin \frac{3 \pi}{2} - \alpha = \cos \alpha $$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1
$$ (-1) \cdot ( - \sin \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = (-1) \cdot \cos \alpha $$
$$ \sin \frac{3 \pi}{2} - \alpha = - \cos \alpha $$
Pertanto, il seno di 3π/2-α è uguale a meno coseno di α.
$$ \sin \frac{3 \pi}{2} - \alpha = - \cos \alpha $$
Il segmento AB è uguale al segmento OD.
Dove il segmento OD misura il coseno di 3π/2-α sulle ascisse negative mentre il segmento AB misura il seno di α sulle ordinate positive.
$$ - \cos \frac{3 \pi}{2} - \alpha = \sin \alpha $$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1
$$ (-1) \cdot ( - \cos \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = (-1) \cdot \sin \alpha $$
$$ \cos \frac{3 \pi}{2} - \alpha = - \sin \alpha $$
Pertanto, il coseno di 3π/2-α è uguale al valore opposto del seno di α.
$$ \cos \frac{3 \pi}{2} - \alpha = - \sin \alpha $$
Una volta note le formule di trasformazione del seno e del coseno, calcolo indirettamente anche le formule della tangente e della cotangente.
La tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.
$$ \tan ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \sin (\frac{3 \pi}{2} - \alpha) }{ \cos ( 3 \frac{\pi}{2} - \alpha) } $$
Sapendo che sin(3π/2-α) = - cos(α) e cos(3π/2-α) = - sin(α)
$$ \tan ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \sin (\frac{3 \pi}{2} - \alpha) }{ \cos ( 3 \frac{\pi}{2} - \alpha) } = \frac{ - \cos \alpha }{ - \sin \alpha } = \cot \alpha $$
Quindi, la tangente dell'angolo 3π/2-α è uguale alla cotangente di α.
La cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.
$$ \cot ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{3 \pi}{2} - \alpha) }{ \sin (\frac{3 \pi}{2} - \alpha) } $$
Sapendo che sin(3π/2-α) = - cos(α) e cos(3π/2-α) = - sin(α)
$$ \cot ( \frac{3 \pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{3 \pi}{2} - \alpha) }{ \sin (\frac{3 \pi}{2} - \alpha) } = \frac{ - \sin \alpha }{ - \cos \alpha } = \tan \alpha $$
Pertanto, la cotangente dell'angolo 3π/2-α è uguale alla tangente di α.
Un esempio pratico
Devo calcolare il seno di 210°
$$ \sin 210° $$
Riscrivo i gradi come differenza di 270° - 60°
$$ \sin (270° - 60°) $$
che in radianti diventa
$$ \sin (\frac{3 \pi}{2} - \frac{\pi}{3} ) $$
Gli angoli 3π/2-α e α sono angoli associati dove α=π/3 (ossia 60°)
$$ \sin( \frac{3 \pi }{2} - \alpha ) = - \cos(\alpha) $$
$$ \sin( \frac{3 \pi }{2} - \frac{\pi}{3} ) = - \cos( \frac{\pi}{3} ) $$
Quindi, il seno di 210° è uguale al valore opposto del coseno di 60°
Sapendo che il coseno di 60° è 1/2, il suo valore opposto è -1/2.
$$ \sin( \frac{3 \pi }{2} - \frac{\pi}{3} ) = - \cos( \frac{\pi}{3} ) = - \frac{1}{2} $$
Pertanto, il seno di 210° è -1/2
$$ \sin 210° = - \frac{1}{2} $$
La riduzione della funzione trigonometrica sin(210°) al primo quadrante come -1·cos(60°) ha reso più facile il calcolo
E così via.
