Angoli associati α e π/2+α
In trigonometria gli angoli alfa (α) e π/2+α sono angoli associati e hanno queste formule di trasformazione. $$ \sin( \frac{ \pi }{2} + \alpha) = \cos(\alpha) $$ $$ \cos( \frac{ \pi }{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $$ $$ \tan( \frac{ \pi }{2} + \alpha) = - \cot(\alpha) $$ $$ \cot( \frac{ \pi }{2} + \alpha) = - \tan(\alpha) $$
Essendo angoli associati hanno lo stesso valore assoluto nelle funzioni trigonometriche, seno, coseno, tangente e cotangente.
Dimostrazione e spiegazione
Considero un angolo α e l'angolo π/2+α su una circonferenza goniometrica.
I due angoli differiscono tra loro di 90° ossia di π/2.
Pertanto, i triangoli rettangolo OAB e OCD sono triangoli congruenti (uguali) perché hanno lo stesso angolo acuto (α) e la stessa lunghezza dell'ipotenusa (OA=OC).
Essendo congruenti i due triangoli hanno gli stessi angoli e la stessa lunghezza dei lati.
Il segmento OB (coseno di α) è uguale al segmento OD (seno di π/2+α).
Pertanto, il seno di π/2+α è uguale al coseno di α.
$$ \sin ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = \cos \alpha $$
Il segmento AB è uguale al segmento CD
Il segmento AB coincide con il seno di α mentre il segmento CD con meno coseno di π/2+α
$$ \overline{CD} = \overline{AB} $$
$$ - \cos ( \frac{\pi}{2} +\alpha ) = \sin \alpha $$
Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1.
$$ (-1) \cdot - \cos ( \frac{\pi}{2} +\alpha ) = (-1) \cdot \sin \alpha $$
$$ \cos ( \frac{\pi}{2} +\alpha ) = - \sin \alpha $$
Pertanto, il coseno di π/2+α è uguale al valore opposto del seno di α.
$$ \cos ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = - \sin \alpha $$
Note le formule di trasformazione del seno e del coseno, ottengo indirettamente anche le formule della tangente e della cotangente.
La tangente è il rapporto tra il seno e il coseno.
$$ \tan ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) }{ \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) } $$
Sapendo che sin(π/2+α) = cos(α) e cos(π/2+α) = - sin(α)
$$ \tan ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) }{ \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) } = \frac{ \cos \alpha }{ - \sin \alpha } = - \cot \alpha $$
Quindi, la tangente dell'angolo π/2+α è uguale a meno cotangente di α.
La cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.
$$ \cot ( \frac{\pi}{2} + \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) }{ \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) } $$
Sapendo che sin(π/2+α) = cos(α) e cos(π/2+α) = - sin(α)
$$ \cot ( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = \frac{ \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) }{ \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) } = - \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } = \tan \alpha $$
Pertanto, la cotangente dell'angolo π/2+α è uguale a meno tangente di α.
Un esempio pratico
Devo calcolare il seno di 150°
$$ \sin 150° $$
Riscrivo i gradi come somma di 90° + 60°
$$ \sin 150° = \sin (90° + 60°) $$
che in radianti diventa
$$ \sin 150° = \sin (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} ) $$
Gli angoli π/2+α e α sono angoli associati dove α=π/3 (ossia 60°)
$$ \sin( \frac{\pi }{2} + \alpha ) = \cos(\alpha) $$
Quindi, il seno di 150° è uguale al valore del coseno di 60°
$$ \sin 150° = \sin( \frac{\pi }{2} + \frac{\pi}{3} ) = \cos( \frac{\pi}{3} ) $$
Sapendo che il coseno di 60° è 1/2, anche il seno di 150° è 1/2.
$$ \sin 150° = \sin( \frac{\pi }{2} + \frac{\pi}{3} ) = \cos( \frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2} $$
$$ \sin 150° = \frac{1}{2} $$
E così via.
