La rotazione degli assi di un piano
In questo appunti spiego come ruotare gli assi di un piano e come calcolare le coordinate del punto con il nuovo sistema di riferimento. $$ \begin{cases} x' = x \cdot \cos θ + y \cdot \sin θ \\ \\ y' = y \cdot \cos θ - x \cdot \sin θ \end{cases} $$
Ho un punto P alle coordinate (x,y) sul piano nel riferimento cartesiano RC.
Ruoto il piano per θ gradi intorno all'origine e ottengo un nuovo riferimento cartesiano RC'.
Dopo la rotazione le nuove coordinate del punto P sono (x',y').
Per calcolare le nuove coordinate utilizzo le formule del cambio di base dopo una rotazione antioraria (equiversa).
$$ x' = x \cdot \cos θ + y \cdot \sin θ $$
$$ y' = y \cdot \cos θ - x \cdot \sin θ $$
Dimostrazione e spiegazione
Le formule del cambio di base dopo la rotazione hanno una spiegazione geometrica.
$$ x' = x \cdot \cos θ + y \cdot \sin θ $$
$$ y' = y \cdot \cos θ - x \cdot \sin θ $$
Devo calcolare la lunghezza del segmento x' e y', conoscendo quella dei segmenti x e y e l'angolo θ della rotazione.
Per farlo traccio un retta parallela all'asse orizzontale x' in modo che passi per il punto x.
Ottengo così lo stesso segmento di lunghezza x' su una retta parallela.
Il nuovo segmento ha il vantaggio d'essere spezzato in due dal valore x delle vecchie coordinate RC.
Questo mi permette di calcolare le due spezzate A e B in modo separato.
La prima spezzata A è il cateto di un triangolo che ha per ipotenusa il valore x delle vecchie coordinate.
Il cateto A e l'ipotenusa sono adiacenti all'angolo θ quindi il cateto è uguale a x·cos θ
Ho così trovato la lunghezza della prima spezzata A.
$$ A = x \cdot \cos θ $$
La seconda spezzata B è il cateto di un triangolo che ha per ipotenusa il valore y delle vecchie coordinate.
Il cateto B e l'ipotenusa y sono opposti all'angolo θ quindi il cateto è uguale a y·sin θ
Ho così trovato la lunghezza della seconda spezzata B.
$$ B = y \cdot \sin θ $$
Pertanto, la lunghezza del segmento x' è
$$ x' = A + B = x \cdot \cos θ + y \cdot \sin θ $$
A questo punto devo spiegare l'altra formula y del cambio di base.
La lunghezza del segmento y' è in parte compreso nel cateto del triangolo precedente.
Di questo triangolo conosco l'ipotenusa uguale a y (vecchie coordinate).
Il cateto con angolo adiacente θ all'ipotenusa misura C+D=y·cos θ.
So già che C è uguale a y' (nuove coordinate).
$$ C+D = y \cos θ $$
$$ y'+D = y \cos θ $$
Quindi la lunghezza y' è uguale a
$$ y' = y \cos θ - D$$
A questo punto devo trovare quanto è lungo il segmento D.
Questo segmento è uguale al cateto dell'altro triangolo già usato per calcolare la prima formula dove è opposto all'angolo θ quindi è lungo x·sin θ.
Una volta trovata la lunghezza del segmento D posso calcolare la coordinata y'
$$ y' = y \cos θ - D$$
$$ y' = y \cos θ - x \sin θ $$
Ecco così spiegata anche la seconda formula del cambio di riferimento cartesiano
E così via.
