Esercizio calcolo integrale 42
Devo risolvere l'integrale
$$ \int \frac{x^2-3}{x^3-4x^2+5x-2} \ dx $$
La funzione integranda è una frazione fratta con il polinomio al denominatore di grado superiore. Quindi, i polinomi non si possono dividere.
Per calcolare questo integrale utilizzo la tecnica della scomposizione in fratti semplici.
Il polinomio al denominatore si azzera con x=1. Uso questa ragione per semplificare il polinomio tramite il metodo di Ruffini.
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -4 & 5 & -2 \\ 1 & & 1 & -3 & 2 \\ \hline & 1 & -3 & 2 & 0 \end{array} $$
Il polinomio al denominatore si può scrivere come prodotto (x-1)(x2-3x+2)
$$ x^3-4x^2+5x-2 = (x-1) \cdot (x^2-3x+2) $$
L'equazione di 2° grado x2-3x+2=0 ha il discriminante positivo Δ>0.
$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2)=9-8=1 $$
Quindi l'equazione x2-3x+2=0 ha due radici reali distinte x1=1 e x2=2.
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 \pm 1}{2} = \begin{cases} x_1 = 1 \\ \\ x_2 = 2 \end{cases} $$
Pertanto, posso riscrivere il trinomio nella forma equivalente (x-x1)(x-x2)=(x-1)(x-2)
$$ x^3-4x^2+5x-2 = (x-1) \cdot (x^2-3x+2) $$
$$ x^3-4x^2+5x-2 = (x-1) \cdot (x-1) \cdot (x-2) $$
$$ x^3-4x^2+5x-2 = (x-1)^2 \cdot (x-2) $$
Sostituisco il polinomio al denominatore con quello appena trovato.
$$ \int \frac{x^2-3}{x^3-4x^2+5x-2} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx $$
In questa forma equivalente posso applicare la scomposizione in fratti semplici.
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2} \ dx $$
Svolgo i calcoli per trovare i valori delle costanti A, B, C
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{A(x-1)(x-2) + B (x-2) + C(x-1)^2}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{A(x^2-2x-x+2) + Bx-2B + C(x^2-2x+1)}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{Ax^2-3Ax+2A + Bx-2B + Cx^2-2Cx+C)}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{x^2 (A+C) + x(-3A+B-2C) +2A -2B +C)}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx $$
I membri dell'equazione hanno lo stesso denominatore.
Pertanto, in base al principio di identità dei polinomi, posso affermare che A+C=1, -3A+B-2C=0, 2A-2B+C=-3
Metto a sistema queste equazioni per trovare la soluzione
$$ \begin{cases} A+C=1 \\ \\ -3A+B-2C=0 \\ \\ 2A-2B+C=-3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ -3(1-C)+B-2C=0 \\ \\ 2(1-C)-2B+C=-3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ -3+3C+B-2C=0 \\ \\ 2-2C-2B+C=-3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ -3+C+B=0 \\ \\ 2-C-2B=-3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ C=3-B \\ \\ 2-(3-B)-2B=-3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ C=3-B \\ \\ 2-3+B-2B=-3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ C=3-B \\ \\ -B=-2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-C \\ \\ C=3-(2) \\ \\ B=2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=1-1 \\ \\ C=1 \\ \\ B=2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=0 \\ \\ C=1 \\ \\ B=2 \end{cases} $$
Una volta trovate le costanti A=0, B=2, C=1 sostituisco i valori nell'integrale con i fratti semplici
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{A}{(x-1)} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x-2} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{0}{(x-1)} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = \int \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = 2 \int \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2} \ dx $$
Per la proprietà lineare degli integrali l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = 2 \int \frac{1}{(x-1)^2} \ dx + \int \frac{1}{x-2} \ dx $$
I due integrali nel membro di destra sono facilmente calcolabili.
ll primo integrale è l'integrale di una potenza ∫(x-1)-2 dx =-(x-1)-1+C
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = 2 \cdot ( - \frac{1}{x-1} ) + C + \int \frac{1}{x-2} \ dx $$
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = - \frac{2}{x-1} ) + C + \int \frac{1}{x-2} \ dx $$
ll secondo integrale è l'integrale di un logaritmo ∫(x-2)-2 dx = log |x-2|+C
$$ \int \frac{x^2-3}{(x-1)^2 \cdot (x-2)} \ dx = - \frac{2}{x-1} + \log |x-2| + C$$
Questa è la soluzione dell'integrale.
E così via
