Principio di identità dei polinomi
Due polinomi ridotti in forma normale sono identici $$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0x^0 = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_0x^0 $$ se hanno lo stesso grado (n) e gli stessi coefficienti nei termini di grado uguale $$ a_i = b_i \ \ \ \forall i \in (0,1,...n) $$.
L'identità dei polinomi è una relazione di uguaglianza.
Due polinomi identici hanno lo stesso valore per tutti i valori assegnati alle loro variabili.
Quindi, hanno la stessa forma e descrivono la stessa curva.
Nota. Per verificare se due polinomi sono identici devo trasformare le loro espressioni in modo tale da avere lo stesso grado e gli stessi coefficienti o gli stessi valori per ogni valore attribuito alle loro variabili. Se la prima condizione è vera anche la seconda è vera e viceversa.
Un esempio pratico
Ad esempio i polinomi
$$ P(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$
$$ Q(x) = -x^3 + 3x^2 -4x +2x^3 -x^2 $$
Sono uguali una volta sommati i termini simili, ossia una volta scritti in forma normale
$$ P(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$
$$ Q(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$
Nota. $$ Q(x) = -x^3 + 3x^2 -4x +2x^3 -x^2 $$ $$ Q(x) = -x^3 +2x^3 + 3x^2 -x^2 -4x $$ $$ Q(x) = x^3(-1+2) + x^2(3-1) -4x $$ $$ Q(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$
Esempio 2
Devo capire se due polinomi sono identici
$$ P(x) : 5x^2 + 4x + 3 $$
$$ Q(x) : (A+2)x^2 + 4Bx + C $$
Dove i coefficienti A, B, C sono ancora da determinare.
Metto a confronto i coefficienti dei termini di uguale grado nei due polinomi
$$ (A+2)x^2 + 4Bx + C = 5x^2 + 4x + 3 $$
I coefficienti di x2 sono A+2 nel membro di sinistra e 5 nel membro di destra.
Quindi nel sistema scrivo l'equazione A+2=5
$$ \begin{cases} A+2=5 \end{cases} $$
I coefficienti di x1 sono 4B nel membro di sinistra e 4 nel membro di destra.
Quindi nel sistema scrivo l'equazione 4B=4
$$ \begin{cases} A+2=5 \\ 4B=4 \end{cases} $$
I coefficienti di x0 (ossia di 1) sono C nel membro di sinistra e 3 nel membro di destra.
Quindi nel sistema scrivo l'equazione C=3
$$ \begin{cases} A+2=5 \\ 4B=4 \\ C=3 \end{cases} $$
Risolvo il sistema
$$ \begin{cases} A=5-2 \\ B=\frac{4}{4} \\ C=3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=3 \\ B=1 \\ C=3 \end{cases} $$
Pertanto, usando i coefficienti A=3, B=1, C=3 i due polinomi sono identici
$$ (A+2)x^2 + 4Bx + C = 5x^2 + 4x + 3 $$
$$ (3+2)x^2 + 4(1)x + 3 = 5x^2 + 4x + 3 $$
$$ 5x^2 + 4x + 3 = 5x^2 + 4x + 3 $$
Esempio 3
In questo caso devo trovare i parametri A, B, C che rendono i due polinomi identici
$$ P_1 = x^3 - 8x^2 + x - 3 $$
$$ P_2 = C x^4 + (A+B) x^3 - Ax^2 + x -3 $$
Metto a confronto i due polinomi
$$ P_1 = P_2 $$
$$ x^3 - 8x^2 + x - 3 = C x^4 + (A+B) x^3 - Ax^2 + x -3 $$
Confronto i coefficienti delle potenze di pari grado della variabile x nel membro di sinistra e di destra dell'equazione
$$ \begin{cases} C=0 \\ A+B=1 \\ -A=-8 \\ 1 = 1 \\ -3 = -3 \end{cases} $$
Spiegazione. La variabile x4 nel membro di sinistra non c'è, quindi ha coefficiente zero, nel membro di destra ha come coefficiente il parametro C. Pertanto, vale l'uguaglianza C=0. La variabile x3 ha come coefficiente +1 nel membro di sinistra e (A+B) nel membro di destra. Pertanto, vale l'uguaglianza A+B=1. E via dicendo.
Elimino le equazioni -1=-1 e 3=3 nel sistema perché sono identità.
$$ \begin{cases} -A=-8 \\A+B=1 \\ C=0 \end{cases} $$
A questo punto verifico se il sistema lineare ha una soluzione
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplicando per -1 entrambi i membri della prima equazione.
$$ \begin{cases} -A \cdot (-1) =-8 \cdot (-1) \\A+B=1 \\ C=0 \end{cases} $$
In questo modo trovo il valore del parametro A
$$ \begin{cases} A=8 \\A+B=1 \\ C=0 \end{cases} $$
Sostituisco A=8 nella seconda equazione e trovo il valore di B
$$ \begin{cases} A=8 \\ 8+B=1 \\ C=0 \end{cases} $$
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni nella seconda equazione del sistema
$$ \begin{cases} A=8 \\ 8+B-8=1-8 \\ C=0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A=8 \\ B=-7 \\ C=0 \end{cases} $$
Il sistema ha una soluzione: A=8, B=-7, C=0.
Sono i parametri necessari per rendere i due polinomi identici.
$$ P_1 = x^3 - 8x^2 + x - 3 $$
$$ P_2 = C x^4 + (A+B) x^3 - Ax^2 + x -3 $$
Sostituisco i parametri A=8, B=-7, C=0 nel secondo polinomio.
$$ P_2 = C x^4 + (A+B) x^3 - Ax^2 + x -3 $$
$$ P_2 = 0 \cdot x^4 + (8-7) x^3 - (8) \cdot x^2 + x -3 $$
$$ P_2 = x^3 -8x ^2 + x -3 $$
Utilizzando questi parametri i due polinomi hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti nelle potenze della variabile x
$$ P_1 = x^3 - 8x^2 + x - 3 $$
$$ P_2 = x^3 -8x ^2 + x -3 $$
Pertanto, i due polinomi sono identici.
Esempio 4
Devo verificare se esistono dei parametri per rendere identici questi due polinomi
$$ P_1 = 3x^3 + 5x^2 - 2x + 1 $$
$$ P_2 = A x^4 + (A+B) x^3 - Cx^2 + x +1 $$
In questo caso la potenza x1 di grado uno non è parametrizzata e ha coefficienti diversi nei due polinomi. E' -2x nel primo polinomio e +x nel secondo.
Quindi, i due polinomi non possono essere identici.
E' del tutto inutile cercare i parametri A, B, C.
E così via.
