Principio di identità dei polinomi

Due polinomi ridotti in forma normale sono identici $$ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0x^0 = b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ... + b_0x^0 $$ se hanno lo stesso grado (n) e gli stessi coefficienti nei termini di grado uguale $$ a_i = b_i \ \ \ \forall i \in (0,1,...n) $$.

Ad esempio i polinomi

$$ P(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$

$$ Q(x) = -x^3 + 3x^2 -4x +2x^3 -x^2 $$

Sono uguali una volta sommati i termini simili, ossia una volta scritti in forma normale

$$ P(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$

$$ Q(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$

Nota. $$ Q(x) = -x^3 + 3x^2 -4x +2x^3 -x^2 $$ $$ Q(x) = -x^3 +2x^3 + 3x^2 -x^2 -4x $$ $$ Q(x) = x^3(-1+2) + x^2(3-1) -4x $$ $$ Q(x) = x^3 + 2x^2 -4x $$

Esempio 2

Devo capire se due polinomi sono identici

$$ P(x) : 5x^2 + 4x + 3 $$

$$ Q(x) : (A+2)x^2 + 4Bx + C $$

Dove i coefficienti A, B, C sono ancora da determinare.

Metto a confronto i coefficienti dei termini di uguale grado nei due polinomi

$$ (A+2)x^2 + 4Bx + C = 5x^2 + 4x + 3 $$

I coefficienti di x2 sono A+2 nel membro di sinistra e 5 nel membro di destra.

Quindi nel sistema scrivo l'equazione A+2=5

$$ \begin{cases} A+2=5 \end{cases} $$

I coefficienti di x1 sono 4B nel membro di sinistra e 4 nel membro di destra.

Quindi nel sistema scrivo l'equazione 4B=4

$$ \begin{cases} A+2=5 \\ 4B=4 \end{cases} $$

I coefficienti di x0 (ossia di 1) sono C nel membro di sinistra e 3 nel membro di destra.

Quindi nel sistema scrivo l'equazione C=3

$$ \begin{cases} A+2=5 \\ 4B=4 \\ C=3 \end{cases} $$

Risolvo il sistema

$$ \begin{cases} A=5-2 \\ B=\frac{4}{4} \\ C=3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} A=3 \\ B=1 \\ C=3 \end{cases} $$

Pertanto, usando i coefficienti A=3, B=1, C=3 i due polinomi sono identici

$$ (A+2)x^2 + 4Bx + C = 5x^2 + 4x + 3 $$

$$ (3+2)x^2 + 4(1)x + 3 = 5x^2 + 4x + 3 $$

$$ 5x^2 + 4x + 3 = 5x^2 + 4x + 3 $$

E così via.

 


 

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