Principio di identità dei polinomi
Due polinomi ridotti in forma normale sono identici anxn+an−1xn−1+...+a0x0=bnxn+bn−1xn−1+...+b0x0anxn+an−1xn−1+...+a0x0=bnxn+bn−1xn−1+...+b0x0 se hanno lo stesso grado (n) e gli stessi coefficienti nei termini di grado uguale ai=bi ∀i∈(0,1,...n)ai=bi ∀i∈(0,1,...n).
L'identità dei polinomi è una relazione di uguaglianza.
Due polinomi identici hanno lo stesso valore per tutti i valori assegnati alle loro variabili.
Quindi, hanno la stessa forma e descrivono la stessa curva.
Nota. Per verificare se due polinomi sono identici devo trasformare le loro espressioni in modo tale da avere lo stesso grado e gli stessi coefficienti o gli stessi valori per ogni valore attribuito alle loro variabili. Se la prima condizione è vera anche la seconda è vera e viceversa.
Un esempio pratico
Ad esempio i polinomi
P(x)=x3+2x2−4xP(x)=x3+2x2−4x
Q(x)=−x3+3x2−4x+2x3−x2Q(x)=−x3+3x2−4x+2x3−x2
Sono uguali una volta sommati i termini simili, ossia una volta scritti in forma normale
P(x)=x3+2x2−4xP(x)=x3+2x2−4x
Q(x)=x3+2x2−4xQ(x)=x3+2x2−4x
Nota. Q(x)=−x3+3x2−4x+2x3−x2Q(x)=−x3+3x2−4x+2x3−x2 Q(x)=−x3+2x3+3x2−x2−4xQ(x)=−x3+2x3+3x2−x2−4x Q(x)=x3(−1+2)+x2(3−1)−4xQ(x)=x3(−1+2)+x2(3−1)−4x Q(x)=x3+2x2−4xQ(x)=x3+2x2−4x
Esempio 2
Devo capire se due polinomi sono identici
P(x):5x2+4x+3P(x):5x2+4x+3
Q(x):(A+2)x2+4Bx+CQ(x):(A+2)x2+4Bx+C
Dove i coefficienti A, B, C sono ancora da determinare.
Metto a confronto i coefficienti dei termini di uguale grado nei due polinomi
(A+2)x2+4Bx+C=5x2+4x+3(A+2)x2+4Bx+C=5x2+4x+3
I coefficienti di x2 sono A+2 nel membro di sinistra e 5 nel membro di destra.
Quindi nel sistema scrivo l'equazione A+2=5
{A+2=5{A+2=5
I coefficienti di x1 sono 4B nel membro di sinistra e 4 nel membro di destra.
Quindi nel sistema scrivo l'equazione 4B=4
{A+2=54B=4{A+2=54B=4
I coefficienti di x0 (ossia di 1) sono C nel membro di sinistra e 3 nel membro di destra.
Quindi nel sistema scrivo l'equazione C=3
{A+2=54B=4C=3⎧⎨⎩A+2=54B=4C=3
Risolvo il sistema
{A=5−2B=44C=3⎧⎪⎨⎪⎩A=5−2B=44C=3
{A=3B=1C=3⎧⎨⎩A=3B=1C=3
Pertanto, usando i coefficienti A=3, B=1, C=3 i due polinomi sono identici
(A+2)x2+4Bx+C=5x2+4x+3(A+2)x2+4Bx+C=5x2+4x+3
(3+2)x2+4(1)x+3=5x2+4x+3(3+2)x2+4(1)x+3=5x2+4x+3
5x2+4x+3=5x2+4x+35x2+4x+3=5x2+4x+3
Esempio 3
In questo caso devo trovare i parametri A, B, C che rendono i due polinomi identici
P1=x3−8x2+x−3P1=x3−8x2+x−3
P2=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3P2=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3
Metto a confronto i due polinomi
P1=P2P1=P2
x3−8x2+x−3=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3x3−8x2+x−3=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3
Confronto i coefficienti delle potenze di pari grado della variabile x nel membro di sinistra e di destra dell'equazione
{C=0A+B=1−A=−81=1−3=−3⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩C=0A+B=1−A=−81=1−3=−3
Spiegazione. La variabile x4 nel membro di sinistra non c'è, quindi ha coefficiente zero, nel membro di destra ha come coefficiente il parametro C. Pertanto, vale l'uguaglianza C=0. La variabile x3 ha come coefficiente +1 nel membro di sinistra e (A+B) nel membro di destra. Pertanto, vale l'uguaglianza A+B=1. E via dicendo.
Elimino le equazioni -1=-1 e 3=3 nel sistema perché sono identità.
{−A=−8A+B=1C=0⎧⎨⎩−A=−8A+B=1C=0
A questo punto verifico se il sistema lineare ha una soluzione
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni moltiplicando per -1 entrambi i membri della prima equazione.
{−A⋅(−1)=−8⋅(−1)A+B=1C=0⎧⎨⎩−A⋅(−1)=−8⋅(−1)A+B=1C=0
In questo modo trovo il valore del parametro A
{A=8A+B=1C=0⎧⎨⎩A=8A+B=1C=0
Sostituisco A=8 nella seconda equazione e trovo il valore di B
{A=88+B=1C=0⎧⎨⎩A=88+B=1C=0
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni nella seconda equazione del sistema
{A=88+B−8=1−8C=0⎧⎨⎩A=88+B−8=1−8C=0
{A=8B=−7C=0⎧⎨⎩A=8B=−7C=0
Il sistema ha una soluzione: A=8, B=-7, C=0.
Sono i parametri necessari per rendere i due polinomi identici.
P1=x3−8x2+x−3P1=x3−8x2+x−3
P2=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3P2=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3
Sostituisco i parametri A=8, B=-7, C=0 nel secondo polinomio.
P2=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3P2=Cx4+(A+B)x3−Ax2+x−3
P2=0⋅x4+(8−7)x3−(8)⋅x2+x−3P2=0⋅x4+(8−7)x3−(8)⋅x2+x−3
P2=x3−8x2+x−3P2=x3−8x2+x−3
Utilizzando questi parametri i due polinomi hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti nelle potenze della variabile x
P1=x3−8x2+x−3P1=x3−8x2+x−3
P2=x3−8x2+x−3P2=x3−8x2+x−3
Pertanto, i due polinomi sono identici.
Esempio 4
Devo verificare se esistono dei parametri per rendere identici questi due polinomi
P1=3x3+5x2−2x+1P1=3x3+5x2−2x+1
P2=Ax4+(A+B)x3−Cx2+x+1P2=Ax4+(A+B)x3−Cx2+x+1
In questo caso la potenza x1 di grado uno non è parametrizzata e ha coefficienti diversi nei due polinomi. E' -2x nel primo polinomio e +x nel secondo.
Quindi, i due polinomi non possono essere identici.
E' del tutto inutile cercare i parametri A, B, C.
E così via.
