Come risolvere l'equazione lineare in seno e coseno con il metodo geometrico
Per risolvere l'equazione lineare in seno e coseno posso usare il metodo geometrico/grafico. $$ a \sin x + b \cos x + c = 0 $$
Creo un sistema con l'equazione goniometrica lineare e la prima relazione fondamentale della trigonometria.
$$ \begin{cases} a \sin x + b \cos x + c = 0 \\ \\ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{cases} $$
Poi sostituisco il seno e il coseno con due variabili temporanee s = sin x e t = cos x
$$ \begin{cases} a \cdot s + b \cdot t + c = 0 \\ \\ s^2 x + t^2 x = 1 \end{cases} $$
E infine risolvo il sistema per trovare le soluzioni delle variabili s e t.
I valori delle variabili s e t individuano una retta sul piano che, eventualmente, interseca la circonferenza goniometrica.
Una volta trovati i valori del seno e del coseno, li metto a sistema per trovare le soluzioni dell'equazione goniometrica
$$ \begin{cases} \cos x = s \\ \\ \sin x = t \end{cases} $$
Un esempio pratico
Devo risolvere l'equazione lineare in seno e coseno
$$ \sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{3} $$
Creo un sistema con la relazione fondamentale della trigonometria
$$ \begin{cases} \sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{3} \\ \\ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \end{cases} $$
Sostituisco il seno e il coseno con le variabili s e t
$$ \begin{cases} \sqrt{3} s + t = \sqrt{3} \\ \\ t^2 + s^2 = 1 \end{cases} $$
Risolvo il sistema con il metodo della sostituzione
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ t^2 + s^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ (\sqrt{3} - \sqrt{3} s)^2 + s^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ \sqrt{3}^2 - 2 \sqrt{3} \sqrt{3} s+(\sqrt{3} s)^2 + s^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ 3 - 2 \cdot 3 s+3s^2 + s^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ 3 - 2 \cdot 3 s+4s^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ 4s^2 - 6 s +3 - 1 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ 4s^2 - 6 s + 2 = 0 \end{cases} $$
La prima equazione del sistema è un'equazione di 2° grado 4s2-6s+2 con Δ=b2-4ac=36-4(4·2)=4
$$ s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ s = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot 4 \cdot 2}}{2(4)} $$
$$ s = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{8} $$
$$ s = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{8} $$
$$ s = \frac{6 \pm 2}{8} $$
$$ s = \frac{6 \pm 2}{8} = \begin{cases} \frac{6 + 2}{8} = \frac{8}{8} = 1 \\ \\ \frac{6 - 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{cases} $$
Le soluzioni equivalgono ai valori del coseno t=cos x quando l'equazione goniometrica è soddisfatta.
Entrambe le soluzioni sono compatibili con il codominio del coseno è compreso tra -1 e 1.
Soluzione 1
Se s = 1 allora t = 0
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ s = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 \\ \\ s = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = 0 \\ \\ s = 1 \end{cases} $$
Poiché t=cos x e s=sin x
$$ \begin{cases} \cos x = 0 \\ \\ \sin x = 1 \end{cases} $$
La soluzione di questo sistema è
$$ x = \alpha + 2 k \pi \ ∨ \ x = - \alpha + 2k \pi \ ∧ \ x = \alpha + 2 k \pi \ ∨ \ x = \pi - \alpha + 2 k \pi $$
$$ x = \alpha + 2 k \pi $$
Dove k è un numero intero qualsiasi
Calcolo l'arcocoseno e l'arcoseno
$$ \begin{cases} \arccos ( \cos x ) = \arccos ( 0 ) \\ \\ \arcsin( \sin x ) = \arcsin( 1 ) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \arccos ( 0 ) \\ \\ x = \arcsin( 1 ) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} \\ \\ x = \frac{\pi}{2} \end{cases} $$
Pertanto una soluzione è x=π/2 ossia 90°
Graficamente la prima soluzione è il punto C alle coordinate cartesiane (0,1) che forma un angolo di 90° (π/2).
Sostituisco α=π/2 nella formula generale delle soluzioni e ottengo
$$ x = \alpha + 2 k \pi $$
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi $$
Variando k trovo tutte le soluzioni
Soluzione 2
Se s = 1/2 allora t = √3/2
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} s \\ \\ s = \frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \\ \\ s = \frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} t = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ s = \frac{1}{2} \end{cases} $$
Poiché t=cos x e s=sin x
$$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{cases} $$
La soluzione di questo sistema è
$$ x = \alpha + 2 k \pi \ ∨ \ x = - \alpha + 2k \pi \ ∧ \ x = \alpha + 2 k \pi \ ∨ \ x = \pi - \alpha + 2 k \pi $$
$$ x = \alpha + 2 k \pi $$
Dove k è un numero intero qualsiasi
Calcolo l'arcocoseno e l'arcoseno
$$ \begin{cases} \arccos( \cos x ) = \arccos( \frac{\sqrt{3}}{2} ) \\ \\ \arcsin( \sin x ) = \arcsin( \frac{1}{2} ) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \arccos( \frac{\sqrt{3}}{2} ) \\ \\ x = \arcsin( \frac{1}{2} ) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} \\ \\ x = \frac{\pi}{6} \end{cases} $$
Pertanto un'altra soluzione è x=π/6 (ossia 30°)
Graficamente la seconda soluzione è il punto D alle coordinate (√3/2, 1/2) sulla circonferenza goniometrica che forma un angolo di 30° (π/6).
Sostituisco α=π/6 nella formula generale delle soluzioni e ottengo
$$ x = \alpha + 2 k \pi $$
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi $$
Variando k trovo tutte le soluzioni
In conclusione
Le soluzioni dell'equazione lineare sono
$$ x = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi \ ∨ \ x = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi $$
Dove k è un numero intero qualsiasi
Le due soluzioni sono i due punti C e D di una retta che interseca al più due punti della circonferenza goniometrica.
E così via
