L'intersezione tra insiemi

L'intersezione tra due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B.
l'intersezione tra gli insiemi

Il simbolo dell'intersezione è .

l'interferenza tra insiemi

Quest'ultima scrittura si legge "intersezione di A e B" oppure "A intersecato a B"

Intersezione di più insiemi. Quando gli insiemi intersecati sono più di due, si può usare questa notazione più sintetica per indicare l'intersezione $$ \bigcap_{i \in I} = \{ x \in A_i \:\: \forall i \in I \} $$

Quando due insiemi non hanno elementi in comune, l'intersezione A⋂B è un insieme vuoto.

il caso degli insiemi disgiunti

In questo caso i due insiemi sono detti insiemi disgiunti.

Un esempio pratico

Considero due insiemi finiti A e B

$$ A = \{ 2,5,6,7, 8 \} $$

$$ B = \{ 1,3,4,6, 7,9 \} $$

I due insiemi hanno in comune due elementi.

$$ A = \{ 2,5, \color{red}6,\color{red}7, 8 \} $$

$$ B = \{ 1,3,4,\color{red}6, \color{red}7,9 \} $$

Pertanto, l'intersezione tra i due insiemi A⋂B è un insieme composto da due elementi (6,7).

$$ A \cap B = \{ 6,7 \} $$

Ecco la rappresentazione dell'intersezione con i diagrammi di Eulero-Venn

il diagramma di Eulero VENN

Tipi di intersezione

L'intersezione tra due insiemi A e B può avere diversi esiti

  • L'intersezione A⋂B è un sottoinsieme proprio di entrambi gli insiemi.

    Esempio. Dati due insiemi $$ A = \{ 2,5,6,7, 8 \} $$ $$ B = \{ 1,3,4,6, 7,9 \} $$ La loro intersezione è $$ A \cap B = \{ 6,7 \} $$ In questo caso l'intersezione è un sottoinsieme proprio sia di A che di B $$ A \cap B ⊂ A $$ $$ A \cap B ⊂ B $$ E' l'esempio già visto in precedenza
    il diagramma di Eulero VENN

  • L'intersezione A⋂B è un sottoinsieme proprio di uno dei due insiemi e un sottoinsieme improprio dell'altro insieme. Questo accade se uno dei due insiemi è un sottoinsieme proprio dell'altro insieme. Ad esempio A⊂B.

    Esempio. Dati due insiemi $$ A = \{ 3,6,7 \} $$ $$ B = \{ 1,3,4,6, 7,9 \} $$ La loro intersezione è $$ A \cap B = \{ 3, 6,7 \} $$ Dal punto di vista grafico
    l'intersezione è un sottoinsieme improprio di A perché ha gli stessi elementi di A
    In questo caso l'intersezione è un sottoinsieme improprio di A perché coincide con A $$ A \cap B = A $$ e un sottoinsieme proprio di B perché esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A $$ A \cap B ⊂ B $$

  • L'intersezione A⋂B è un sottoinsieme improprio di entrambi gli insiemi. Questo accade in due diverse situazioni.

    A] Quando gli insiemi sono insiemi disgiunti l'intersezione è un insieme vuoto che per definizione è un sottoinsieme improprio di ogni insieme.

    Esempio. Dati due insiemi $$ A = \{ 2,5,8 \} $$ $$ B = \{ 1,3,4,6, 7,9 \} $$ La loro intersezione è un insieme vuoto $$ A \cap B = \{ \ \ \} = Ø $$ In questo caso i due insiemi A e B non hanno elementi in comune.
    il caso dell'insieme vuoto
    L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di tutti gli insiemi. Quindi, è un sottoinsieme improprio sia di A che di B $$ A \cap B ⊂ A $$ $$ A \cap B ⊂ B $$

    B] Quando gli insiemi sono insiemi uguali. In questo caso l'intersezione è un insieme uguale sia ad A che a B

    Esempio. Dati due insiemi $$ A = \{ 1,2,3,4 \} $$ $$ B = \{ 1,2,3,4 \} $$ La loro intersezione è un insieme uguale sia ad A che a B $$ A \cap B = A = B $$ In questo caso i due insiemi A e B hanno tutti gli elementi in comune. Sono due insiemi uguali.
    i due insiemi sono uguali
    Quando due insiemi sono uguali, sono sottoinsiemi impropri l'uno dell'altro

Le proprietà dell'intersezione

L'intersezione tra due insiemi rispetta delle proprietà simili a quelle dell'addizione e della moltiplicazione dei numeri.

  • La proprietà commutativa
    Scambiando l'ordine degli insiemi l'intersezione non cambia $$ A \cap B = B \cap A $$

    la proprietà commutativa dell'intersezione

  • La proprietà associativa
    L'intersezione di A⋂B con C è uguale all'intersezione tra A con B⋂C. $$ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $$

    la proprietà associativa dell'intersezione

  • La proprietà distributiva rispetto all'unione
    L'intersezione di A con B∪C è uguale all'unione delle intersezioni A⋂B e A⋂C
    $$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $$

    proprietà delle intersezioni

E così via.

 


 

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