Unione di insiemi
L'unione di due insiemi A e B è un insieme composto da gli elementi appartenenti all'insieme A o all'insieme B, oppure a entrambi.
Il simbolo dell'unione è ∪.
Si legge unione di A e B oppure A unito B.
Se esistono elementi appartenenti a entrambi agli insiemi vanno computati una sola volta nell'insieme unione.
L'unione di più insiemi. Posso svolgere l'operazione di unione anche tra più insiemi. Per scrivere l'unione di una famiglia di insiemi scrivo $$ \bigcup_{i \in I} = \{ x \in A_i \:\: \text{per qualche}\:\: i \in I \} $$
Un esempio pratico
Ho due insiemi A e B
L'insieme A è composto dagli elementi { 2, 5, 6, 7, 8 } mentre l'insieme B dagli elementi { 1, 3, 4, 6, 7, 9 }.
L'unione dei due insiemi AUB è l'insieme { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
Nota. Gli elementi appartenenti a entrambi gli insiemi {6, 7} si trovano sia nell'insieme A che nell'insieme B. Quindi, ci sono due 6 e due 7. Tuttavia, nell'insieme unione A∪B gli elementi 6 e 7 vanno considerati una sola volta perché un insieme non può contenere elementi ripetuti.
Esempio 2
Considero due insiemi A e B.
$$ A = \{ 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $$
$$ B = \{ 2, 4, 6, 8 \} $$
In questo caso l'insieme B è un sottoinsieme proprio di A.
L'unione dei due insiemi coincide con l'insieme A.
$$ A U B = \{ 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $$
Gli elementi in comune vanno inclusi una sola volta nell'insieme A unito B.
Esempio 2
Considero due insiemi A e B.
$$ A = \{ 1 , 3, 5, 7, 9 \} $$
$$ B = \{ 2, 4, 6, 8 \} $$
In questo caso i due insiemi sono disgiunti perché non hanno elementi in comune.
L'unione dei due insiemi include tutti gli elementi, sia gli elementi di A e sia quelli di B.
$$ A U B = \{ 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} $$
Ecco la rappresentazione degli insiemi usando i diagrammi di Eulero-Venn.
Nota. Spesso l'unione è paragonata alla congiunzione OR (o) ossia alla disgiunzione logica. Tuttavia, ci sono due tipi di disgiunzioni logiche: inclusiva o esclusiva. L'unione è paragonabile solo alla disgiunzione inclusiva (OR inclusivo) perché "include" entrambe le alternative. Ad esempio, se un elemento appartiene sia ad A che a B è incluso nell'insieme unione A∪B.
L'unione è diversa dalla disgiunzione esclusiva (OR esclusivo o XOR) che, invece, esclude una delle due alternative. Nella disgiunzione esclusiva gli elementi in comune di A e B sarebbero esclusi dall'insieme unione. Pertanto, quando si paragona l'unione alla disgiunzione logica è necessario specificare disgiunzione inclusiva.
Le proprietà dell'unione
L'operazione di unione tra gli insiemi rispetta alcune proprietà analoghe a quelle dell'addizione e della moltiplicazione dei numeri.
- La proprietà commutativa
Scambiando l'ordine degli insiemi l'unione non cambia $$ A \cup B = B \cup A $$
- La proprietà associativa
L'unione di A∪B con l'insieme C è uguale all'unione tra l'insieme A con B∪C. $$ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $$
- La proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione
L'unione di A con l'intersezione B⋂C è uguale all'intersezione delle unioni A∪B e A∪C$$ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $$
La cardinalità dell'insieme unione
La cardinalità dell'unione cambia a seconda se gli insiemi sono disgiunti oppure no.
- Insiemi disgiunti
Gli insiemi disgiunti non hanno elementi in comune. In questo caso la cardinalità dell'insieme unione è uguale alla somma della cardinalità degli insiemi $$ |A∪B|=|A| + |B| $$ - Insiemi non disgiunti
Gli insiemi non disgiunti hanno elementi in comune. In questo caso la cardinalità dell'unione si ottiene dalla somma dei due insiemi meno la cardinalità dell'insieme intersezione. $$ |A∪B|=|A| + |B| - |A⋂B| $$
Spiegazione. La somma degli elementi degli insiemi conta due volte gli elementi presenti in entrambi gli insiemi, ossia gli elementi dell'intersezione A⋂B. E' quindi necessario togliere una volta gli elementi dell'insieme A⋂B per avere la cardinalità dell'insieme A∪B.
Se gli insiemi non disgiunti sono tre, secondo il principio di inclusione-esclusione la cardinalità dell'unione è $$ |A∪B∪C|=|A| + |B| + |C| - |A⋂B| - |A⋂C| - |B⋂C| + |A⋂B⋂C|$$
Spiegazione. La somma |A|+|B|+|C| conta due volte gli elementi delle intersezioni |A⋂B|, |A⋂C|, |B⋂C| e tre volte quelli dell'intersezione |A⋂B⋂C|. Quindi le elimino una volta dal conteggio. Tuttavia, quest'ultima esclusione elimina per tre volte gli elementi dell'intersezione |A⋂B⋂C|. Per questa ragione devo includerli nuovamente.
E così via.
