L'integrale di una costante
L'integrale indefinito di una costante \(k\) è uguale al prodotto della costante per la variabile di integrazione, più una costante arbitraria \(C\). $$ \int k\,dx=kx+C $$
Questa formula deriva dal fatto che la derivata della funzione \(kx+C\) rispetto a \(x\) è proprio \(k\). Infatti,
$$ \frac{d}{dx}(kx+C)=k $$
Ad esempio, considero la funzione costante \(f(x)=3\) e calcolo il suo integrale indefinito.
$$ \int 3\,dx $$
Applicando la formula precedente, ottengo
$$ \int 3\,dx=3x+C $$
Il risultato rappresenta una famiglia di rette parallele, tutte con coefficiente angolare uguale a 3. La costante \(C\) determina il punto in cui ciascuna retta interseca l'asse delle ordinate.
L'integrale definito di una costante
L'integrale definito della costante \(k\) nell'intervallo \([a,b]\) si calcola usando la formula $$ \int_a^b k\,dx=k(b-a) $$
Per comprendere il significato geometrico di questa formula, considero il caso in cui \(k>0\) e \(a< b\).
Il grafico della funzione \(f(x)=k\) è una retta orizzontale, parallela all'asse delle ascisse. L'area compresa tra il grafico e l'asse delle ascisse, nell'intervallo \([a,b]\), è un rettangolo di base \(b-a\) e altezza \(k\).
Pertanto, l'integrale definito coincide con l'area del rettangolo.
$$ \int_1^4 3\,dx=3(4-1)=9 $$
Se invece \(k<0\), il grafico della funzione si trova sotto l'asse delle ascisse. In questo caso l'integrale definito è negativo, perché rappresenta un'area con segno.
L'area geometrica del rettangolo, che è sempre non negativa, si calcola invece mediante il valore assoluto della costante.
$$ A=|k|(b-a) $$
Infine, se \(k=0\), l'integrale definito è nullo.
Nota. L'integrale indefinito di una costante restituisce una famiglia di funzioni lineari, mentre l'integrale definito permette di calcolare l'area con segno compresa tra il grafico della funzione costante e l'asse delle ascisse.
La dimostrazione
Posso ricavare la formula dell'integrale indefinito di una costante applicando la proprietà di linearità dell'integrale. Questa proprietà permette di portare un fattore costante fuori dal segno di integrale.
$$ \int k \cdot f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx $$
Nel caso dell'integrale di una costante \(k\), posso scrivere la funzione costante come il prodotto \(k \cdot 1\).
$$ \int k\,dx = \int k \cdot 1\,dx $$
Applicando la proprietà di linearità, porto la costante \(k\) fuori dall'integrale.
$$ \int k\,dx = k \int 1\,dx $$
Poiché una primitiva della funzione costante \(f(x)=1\) è la funzione \(F(x)=x\), ottengo
$$ \int k\,dx = kx+C $$
Quindi, l'integrale indefinito di una costante è uguale al prodotto della costante per la variabile di integrazione, più una costante arbitraria.
La proprietà di linearità permette così di ricavare la formula generale a partire dall'integrale della funzione costante \(f(x)=1\).
La dimostrazione dell'integrale definito di una costante
Considero una funzione costante \(f(x)=k\), continua nell'intervallo \([a,b]\), con \(a< b\). Voglio calcolare il seguente integrale definito.
$$ \int_a^b k\,dx $$
La proprietà di linearità degli integrali mi permette di portare una costante moltiplicativa fuori dal segno di integrale.
$$ \int_a^b k\cdot f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx $$
Poiché posso scrivere la funzione costante come \(k\cdot 1\), ottengo
$$ \int_a^b k\,dx=k\int_a^b 1\,dx $$
Il problema si riduce quindi al calcolo dell'integrale definito della funzione costante \(f(x)=1\).
Il teorema di Newton-Leibniz, conseguenza del teorema fondamentale del calcolo integrale, afferma che l'integrale definito di una funzione continua può essere calcolato mediante una sua primitiva.
$$ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) $$
In questa formula, \(F(x)\) è una primitiva della funzione \(f(x)\), ossia una funzione la cui derivata è uguale a \(f(x)\).
Nel caso della funzione \(f(x)=1\), una primitiva è \(F(x)=x\), perché la derivata di \(x\) è uguale a 1.
Applicando il teorema, ottengo
$$ \int_a^b 1\,dx=[x]_a^b=b-a $$
Sostituisco questo risultato nell'espressione ricavata mediante la proprietà di linearità.
$$ \int_a^b k\,dx=k(b-a) $$
Ho così dimostrato che l'integrale definito di una costante è uguale al prodotto della costante per l'ampiezza dell'intervallo di integrazione.
Dimostrazione alternativa
Posso ottenere lo stesso risultato applicando il teorema della media integrale. Questo teorema afferma che, se una funzione \(f(x)\) è continua nell'intervallo \([a,b]\), esiste almeno un punto \(c\) appartenente all'intervallo tale che
$$ \int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a) $$
Nel caso della funzione costante \(f(x)=k\), il valore della funzione è sempre uguale a \(k\), indipendentemente dal punto considerato.
$$ f(c)=k $$
Quindi, sostituendo nella formula del teorema della media integrale, ottengo direttamente
$$ \int_a^b k\,dx=k(b-a) $$
Il risultato è lo stesso ottenuto mediante la proprietà di linearità e il teorema di Newton-Leibniz. In questo caso, inoltre, la relazione è verificata per qualsiasi punto \(c\) dell'intervallo.
Nota. La formula $ \int_a^b k\,dx=k(b-a) $ ha anche un significato geometrico. Se \(k>0\), il grafico della funzione costante \(f(x)=k\) è una retta orizzontale posta sopra l'asse delle ascisse. Nell'intervallo \([a,b]\), la regione compresa tra il grafico e l'asse delle ascisse è un rettangolo di base \(b-a\) e altezza \(k\). $$ A=k(b-a) $$ Se invece \(k<0\), il grafico si trova sotto l'asse delle ascisse. L'integrale definito è negativo perché rappresenta un'area con segno, mentre l'area geometrica del rettangolo è $$ A=|k|(b-a) $$ Se \(k=0\), l'integrale è nullo. Infine, se gli estremi di integrazione sono invertiti, applico la proprietà di inversione degli estremi. $$ \int_b^a k\,dx=-\int_a^b k\,dx $$ Quindi, la formula generale resta valida anche quando l'estremo superiore è minore di quello inferiore. $$ \int_a^b k\,dx=k(b-a) $$
E così via.
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