La disgiunzione esclusiva
La disgiunzione esclusiva è una proposizione composta da due proposizioni A e B ed è vera se e solo se una delle due proposizioni è vera. In tutti gli altri casi è falsa. Si indica con il simbolo $$ A \dot{∨} B $$ Si legge "o A o B" (italiano), "A aut B" (latino) oppure "A xor B" (exclusive or in inglese).
Nella disgiunzione logica esclusiva le proposizioni A e B non possono essere entrambe vere.
La tavola di verità della disgiunzione esclusiva è la seguente:
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \dot{∨} B \\ \hline F & F & F \\ F & V & V \\ V & F & V \\ V & V & F \end{array} $$
Si chiama "esclusiva" perché esclude il caso che le proposizioni A e B siano entrambe vere.
Da questo punto di vista si distingue da un altro tipo di disgiunzione logica detta "inclusiva".
La differenza tra la disgiunzione esclusiva e inclusiva. La disgiunzione esclusiva esclude il caso in cui entrambe le proposizioni A e B sono vere. L'una esclude l'altra. Viceversa, la disgiunzione inclusiva include il caso in cui entrambe le proposizioni A e B sono vere.
Un esempio pratico
Considero due proposizioni
$$ A = \text{2 è maggiore di 3} $$
$$ B = \text{5 è maggiore di 4} $$
La prima proposizione è falsa mentre la seconda è vera.
La proposizione composta A xor B è vera perché solo una delle due sia vera.
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \dot{∨} B \\ \hline F & F & F \\ \color{red}F & \color{red}V & \color{red}V \\ V & F & V \\ V & V & F \end{array} $$
Esempio 2
Considero due proposizioni
$$ A = \text{7 è maggiore di 6} $$
$$ B = \text{5 è maggiore di 4} $$
In questo caso entrambe le proposizioni sono vere.
La proposizione composta A xor B è falsa perché l'una esclude l'altra, nella disgiunzione esclusiva A e B non possono essere entrambe vere.
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \dot{∨} B \\ \hline F & F & F \\ F & V & V \\ V & F & V \\ \color{red}V & \color{red}V & \color{red}F \end{array} $$
Esempio 3
Considero due proposizioni
$$ A = \text{2 è maggiore di 3} $$
$$ B = \text{9 è minore di 8} $$
In questo caso entrambe le proposizioni sono false.
La proposizione composta A xor B è falsa perché nessuna delle due proposizioni è vera.
$$ \begin{array}{cr|c} A & B & A \dot{∨} B \\ \hline \color{red}F & \color{red}F & \color{red}F \\ F & V & V \\ V & F & V \\ V & V & F \end{array} $$
E così via.
