Le rette parallele

Due rette sono rette parallele quando non hanno alcun punto in comune oppure coincidono.

Per indicare due rette parallele si usa il simbolo // oppure ||

$$ r // s $$ $$ r \parallel s $$

La regione del piano compresa tra le due rette è detta "striscia" oppure "banda".

La distanza minima di un qualsiasi punto di una retta dall'altra retta parallela è, invece, chiamata "altezza" della striscia o distanza tra le rette parallele.

Questa altezza rappresenta la misura perpendicolare tra le due rette ed è costante in ogni punto di ciascuna retta.

Una definizione alternativa

Due rette (non parallele all'asse y) sono parallele tra loro se hanno lo stesso coefficiente angolare e viceversa.

In pratica, due rette qualsiasi sono parallele se hanno la stessa pendenza rispetto all'asse delle ascisse (x).

Fanno eccezione alla regola tutte le rette parallele all'asse delle ordinate (y) poiché, in questo caso, non è possibile determinare il coefficiente angolare.

Teorema inverso. Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare (m=m') allora sono rette parallele.

Un esempio pratico e dimostrazione

Considero due rette parallele r:y=2x-2 e r':y=2x-6

Chiamo i punti di intersezione delle rette sull'asse delle ascisse x₁ e x₁'.

Individuo altri due punti sull'asse delle ascisse sommando a x₁ e x₁' una costante k. Ad esempio k=1.

$$ x_2=x_1+k $$

$$ x_2'=x_1'+k $$

Pertanto i due segmenti x₁x₂ e x₁'x₂' hanno la stessa lunghezza.

Traccio una retta perpendicolare a partire da x₁+k e x₁'+k che interseca la rispettiva retta r e r'.

In questo modo si formano due triangoli rettangolo ABC e A'B''C'.

Quindi, hanno l'angolo retto (90°) congruente α=α'.

Per il teorema delle rette parallele sono congruenti anche gli angoli β=β' perché sono angoli corrispondenti, in quanto le rette parallele r e r' sono tagliate dalla stessa trasversale (l'asse x).

Per il secondo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti ABC≅A'B'C' perché hanno un lato congruente AB≅A'B' per costruzione e gli angoli adiacenti congruenti α≅α' e β≅β'.

Nota. Essendo due triangoli rettangolo, entrambi hanno un angolo è di 90° ( α=α' ). Entrambi hanno un angolo ( β=β' ) determinato dalla stessa trasversale che interseca l'asse delle ascisse. Di conseguenza, anche il terzo angolo deve essere congruente ( γ=γ' ) perché la somma degli angoli in un triangolo rettangolo è pari a 180°.

I due triangoli sono congruenti ABC≅A'B'C', questo significa che hanno tutti i lati della stessa lunghezza.

Quindi i due cateti del triangolo rettangolo sono congruenti.

$$ \overline{AB} \cong \overline{A'B'} $$

$$ \overline{BC} \cong \overline{B'C'} $$

Sapendo che AB=x₂-x₁ e A'B'=x'₂-x'₁ (dove x₂=x₁+k e x'₂=x'₁+k) e che BC=y₂-y₁ e A'B'=y'₂-y'₁

$$ x_2 - x_1 = x'_2-x'_1 $$

$$ y_2 - y_1 = y'_2-y'_1 $$

Il coefficiente angolare è determinato dal rapporto dei due cateti del triangolo rettangolo

$$ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$

$$ m' = \frac{y'_2-y'_1}{x'_2-x'_1} $$

Essendo i lati uguali anche il coefficiente angolare è lo stesso.

$$ m = m' $$

Dimostrazione del teorema inverso. Il ragionamento si può fare anche all'inverso. Partendo dall'ipotesi che due rette con lo stesso coefficiente angolare m=m' posso dimostrare che le due rette sono parallele.

Se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare $$ m=m' $$ poiché m=BC/AB e m'=B'C'/A'B',  vale la seguente uguaglianza $$ \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{A'B'}} $$ Dove AB e A'B' sono segmenti sulle ascisse mentre BC e B'C' sono segmenti sulle ordinate. Se i segmenti sull'ascisse AB≅A'B' sono congruenti, ottengo che anche i segmenti sulle ordinate BC≅B'C' lo sono.

Pertanto i triangoli rettangolo ABC≅A'B'C' sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, perché hanno due lati congruenti AB≅A'B' e BC≅B'C' e l'angolo tra di essi α≅α' (90°) congruente. Di conseguenza i triangoli ABC≅A'B'C' hanno tutti gli angoli uguali. In particolar modo, mi interessa sapere che sono congruenti gli angoli β≅β' che misurano la pendenza delle rette r e r' rispetto all'asse x, perché questo mi permette di dedurre che le due rette hanno la stessa pendenza rispetto all'asse x ovvero sono rette parallele r // r'.

La condizione di parallelismo delle rette

Due rette $ r $ e $ s $ con le seguenti equazioni in forma implicita $$ r: \ ax+by+c=0 $$ $$ s: \ a'x+b'y+c'=0 $$ sono parallele $ r // s $ se i coefficienti delle equazioni soddisfano la seguente condizione $$ ab' - a'b = 0 $$ che può essere scritta anche in questa forma equivalente $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$

Questa condizione è detta condizione di parallelismo delle rette.

Esempio

Prendo come esempio due rette paralle $ r // s $ con le seguenti equazioni in forma implicita.

$$ r: \ 2x+3y+1=0 $$

$$ s: \ 4x+6y-8=0 $$

Verifico se le due rette soddisfano la condizione di parallelismo.

$$ ab' - a'b = 0 $$

In questo caso a=2, b=3, a'=4 e b'=6.

$$ 2 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 0 $$

$$ 12 - 12 = 0 $$

La condizione di parallelismo è soddisfatta, quindi le due rette sono parallele $ r // s $.

Dimostrazione

Considero due rette paralle $ r // s $ con le seguenti equazioni in forma implicita.

$$ r: \ ax+by+c=0 $$

$$ s: \ a'x+b'y+c'=0 $$

I coefficienti angolari delle due rette sono:

$$ m = - \frac{a}{b} $$

$$ m' = - \frac{a'}{b'} $$

Essendo rette parallele per l'ipotesi iniziale, i due coefficienti angolari sono uguali

$$ m = m' $$

$$ - \frac{a}{b} = - \frac{a'}{b'} $$

Con qualche semplice passaggio algebrico ottengo la condizione di parallelismo tra le rette.

$$ \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} $$

$$ ab' = a'b $$

E questo conclude la dimostrazione.

Come capire se due rette sono parallele distinte o coincidenti

Due rette sono parallele distinte se le equazioni soddisfano la condizione di parallelismo ma non soddisfano la condizione di coincidenza. $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \ne \frac{c}{c'} $$ Viceversa, se soddisfano entrambe le condizioni sono rette coincidenti. $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} $$

Sia le rette parallele distinte che quelle coincidenti soddisfano la condizione di parallelismo:

$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$

Dove a,a',b,b' sono i coefficienti delle variabili x e y di due rette:

$$ r: ax+by+c=0 $$

$$ r': a'x+b'y+c'=0 $$

In altre parole, le rette coincidenti sono un caso particolare di rette parallele perché hanno la stessa pendenza (coefficiente angolare).

Per capire se due rette parallele sono distinte o coincidenti, devo analizzare anche la condizione di coincidenza tramite il rapporto dei loro termini noti $ \frac{c}{c'} $ .

• Coincidenti
  Se il rapporto tra i termini noti è proporzionale a quello dei coefficienti, allora le rette sono coincidenti, ovvero hanno tutti i punti in comune $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} $$
• Parallele e distinte
  Se il rapporto tra i termini noti è diverso da quello dei coefficienti, allora le rette sono parallele distinte, ovvero non hanno nessun punto in comune $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \ne \frac{c}{c'} $$

Esempio

Considero due rette con le equazioni in forma impropria

$$ r:2x+3y+6=0 $$

$$ r′:4x+6y+12=0 $$

Devo scoprire se sono incidenti, parallele o coincidenti.

Per prima cosa verifico se la condizione di parallelismo è soddisfatta.

$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$

In questo caso i coefficienti delle variabili x e y sono a=2, b=3 nella prima equazione e a'=4 e b'=6 nella seconda equazione.

$$ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} $$

$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

La condizione di parallelismo è soddisfatta, ora so per certo che le due rette non sono incidenti.

Devo però capire se sono parallele distinte o coincidenti.

Per farlo analizzo la condizione di coincidenza tramite il rapporto tra i termini noti c=6 e c'=12 delle due equazioni.

$$ \frac{c}{c'} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

Tutti i rapporti sono uguali a 1/2, quindi le due rette sono coincidenti.

$$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = \frac{1}{2} $$

In altre parole, le due rette hanno in comune tutti i punti.

Questi semplici passaggi mi permettono di determinare con precisione la relazione tra due rette in base ai loro coefficienti, senza dover risolvere un sistema di equazioni.

Esempio di rette parallele e distinte. Per completezza faccio anche un altro esempio in cui due rette sono parallele distinte. Prendo il caso di queste due rette. $$ r:2x+3y+6=0 $$ $$ r′:4x+6y+3=0 $$ Le equazioni sono simili al precedente esempio. La condizione di parallelismo è soddisfatta: $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} $$ $$ \frac{2}{4} = \frac{3}{6} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$ Tuttavia, in questo caso la condizione di coincidenza non è soddisfatta perché il rapporto tra i termini noti è uguale a 2. $$ \frac{c}{c'} = \frac{6}{3} = 2 $$ Quindi il rapporto c/c' noti non è proporzionale al rapporto tra i coefficienti delle variabili. $$ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{1}{2} \ne 2 = \frac{c}{c'}  $$ Pertanto le due rette sono parallele e distinte.

Osservazioni

Alcune osservazioni sulle rette parallele

• Proprietà riflessiva
  Una retta r è sempre parallela a se stessa. $$ r \parallel r $$
• Proprietà simmetrica
  Se una retta r è parallela alla retta s, allora la retta s è parallela alla retta r. $$ r \parallel s $$
• Proprietà transitiva
  Se le rette r // s sono parallele e le rette s // p sono parallele, allora anche le rette r // p sono parallele. $$ r \parallel s \ , \ s \parallel p \ \Rightarrow r \parallel p $$
• La distanza tra due rette parallele è costante in ogni punto di ciascuna retta
  
  

  Dimostrazione. Se considero due rette parallele r // s, essendo le rette perpendicolari a una retta sono perpendicolari anche all'altra retta. Quindi, se prendo due segmenti AB e CD perpendicolari alle rette r e s, questi formano un rettangolo ABCD. In un rettangolo i lati opposti sono congruenti, quindi i segmenti AB≅CD sono congruenti. Questo dimostra che la distanza (altezza) tra due rette parallele è costante in qualsiasi punto.
  

• Il teorema delle rette parallele
  Se due rette tagliate da una terza retta trasversale soddisfano una di queste condizioni
  • formano angoli alterni (interni o esterni) congruenti
  • formano angoli corrispondenti (interni o esterni) congruenti
  • formano angoli coniugati supplementari
  allora le due rette sono rette parallele.
• Due rette r e s perpendicolari a una terza retta t sono rette parallele
  Le rette r e s formano coppie di angoli corrispondenti congruenti. Pertanto, per il teorema delle rette parallele sono rette parallele.
  

  Nota. In alternativa, posso dire che le rette r e s formano coppie di angoli alterni interni (o esterni) congruenti oppure coppie di angoli coniugati supplementari. In tutti i casi la conclusione è il parallelismo tra le due rette.

• Il postulato delle rette parallele (quinto postulato di Euclide)
  Data una retta r e un punto P qualsiasi del piano, esiste una e una sola retta parallela a r che passa per il punto P.
  
• Una retta t perpendicolare alla retta r è anche perpendicolare a tutte le parallele della retta r
  Date due rette parallele r e s, se la retta t è perpendicolare a una retta, allora è perpendicolare anche all'altra retta.
  

  Dimostrazione. Considero due rette parallele r//s e una terza retta t perpendicolare alla retta s. Quindi, per l'ipotesi iniziale le rette t e s formano un angolo α=90°.
  
  Le due rette r e s sono rette parallele r//s. Quindi, per il teorema delle rette parallele le rette r e s formano due coppie di angoli corrispondenti congruenti rispetto alla stessa retta trasversale (α≅β). Pertanto, anche l'angolo β è un angolo retto (β=90°).
  
  Di conseguenza, la retta t è perpendicolare anche alla retta r.

• Due rette a e b parallele a una terza retta c, sono anche parallele tra loro (a//b) $$ a \parallel c \ , \ b \parallel c \ \Rightarrow a \parallel b $$

  Dimostrazione. Per dimostrarlo seguo un ragionamento per assurdo. Per ipotesi le rette a e b sono entrambe parallele alla retta c ma le rette a e b non sono parallele tra loro $$ a \parallel c $$ $$ b \parallel c $$ Se le rette a e b non sono parallele, allora sono incidenti in un punto P.
  
  Tuttavia, per l'ipotesi iniziale entrambe le rette a e b sono parallele alla retta c. Questo vuol dire che nel punto P passano due rette (a e b) parallele alla retta c, ma questo è impossibile perché contraddice il postulato delle parallele. Pertanto le rette a e b non possono essere incidenti. Quindi, l'affermazione iniziale è falsa. E' vera la sua negazione ossia le rette a e b sono entrambe parallele alla retta c e sono anche parallele tra loro (a//b)
  

• Le rette parallele di due rette incidenti a e b sono anch'esse incidenti
  

  Dimostrazione. Per assurdo, date due rette a e b incidenti, le loro rispettive rette parallele a' e b' sono parallele tra loro a' // b' $$ a \parallel a' $$ $$ b \parallel b' $$ $$ a' \parallel b' $$ Se le rette a' e b' sono parallele tra loro (a' // b') per la proprietà transitiva dovrebbero essere parallele anche le rette a // b $$ a' \parallel b' \ , \ b' \parallel b \Rightarrow a \parallel b $$ Questo però contraddice l'ipotesi iniziale, in base alla quale le rette a e b sono incidenti. Quindi l'affermazione è falsa. E' vero il suo contrario, ossia date due rette a e b incidenti, sono incidenti anche le loro rispettive parallele a' e b'.

E così via.