Equazione di una retta passante per un punto con un coefficiente angolare

L'equazione di una retta che passa per un singolo punto del piano P(x₁;y₁) con un determinato coefficiente angolare m è la seguente: $$ y = m \cdot (x-x_1) + y_1 $$ Dove (x;y) sono tutti gli altri punti della retta.

Questa formula mi permette di costruire la retta a partire da un solo punto (x₁;y₁) se conosco il suo coefficiente angolare.

Dove il coefficiente angolare di una retta è la sua pendenza rispetto all'asse x.

$$ m = \frac{y-y_1}{x-x_1} $$

Si ottiene calcolando il rapporto tra la differenza delle ordinate $ (y−y_1​) $ e la differenza delle ascisse $ (x−x_1​) $, che misura quanto la retta è inclinata rispetto all'asse delle ascisse.

Dove $ m $ indica la pendenza della retta, $ (x_1,y_1) $ sono le coordinate di un punto noto attraverso cui passa la retta, e $ (x,y) $ sono le coordinate di un altro punto qualsiasi sulla stessa retta.

Nota.  La formula $ y = m \cdot (x-x_1) + y_1 $ è particolarmente utile per descrivere geometricamente una retta nel piano cartesiano, avendo un punto di riferimento e la sua pendenza. A volte è indicata anche nella forma equivalente: $ y - y_1 = m \cdot (x-x_1) $

Un esempio pratico

Considero il punto del piano (x₁;y₁)=(1;3) e il coefficiente angolare m=2.

Applico la formula dell'equazione della retta passante per il punto, conoscendo il coefficiente angolare.

$$ y = m \cdot (x-x_1) + y_1 $$

In questo caso le coordinate del punto sono x₁=1 e  y₁=3 mentre il coefficiente angolare è m=2..

$$ y = 2 \cdot (x-1) + 3 $$

$$ y = 2 x - 2 + 3 $$

$$ y = 2 x + 1 $$

Le variabili x e y sono le coordinate di tutti gli altri punti (x;y) della retta.

Tramite una tabella calcolo alcuni punti della retta diversi da quello iniziale.

$$ \begin{array}{c|c} x & y=2x+1 \\ \hline -1 & -1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 3\\ 2 & 5 \end{array} $$

In questo modo posso calcolare le coordinate di tutti i punti della retta che passa per il punto (1;3) con coefficiente angolare m=2.

Nota. Dal punto di vista geometrico mi basta conoscere le coordinate di un solo punto (x;y) diverso da quello iniziale (x₁;y₁) per tracciare la retta che passa per i due punti. Un punto facile da calcolare è l'intercetta con l'asse delle ordinate che si ottiene semplicemente ponendo a zero la variabile indipendente x=0 nell'equazione della retta y=2x+1.

La dimostrazione

Questa equazione deriva dall'equazione della retta passante per due punti (o condizione di allineamento della retta).

$$ \frac{y-y_1}{y_2-y_1}= \frac{x-x_1}{x_2-x_1} $$

Con un semplice passaggio algebrico ottengo:

$$ \frac{y-y_1}{x-x_1}= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$

Dove $ m = \frac{y-y_1}{x-x_1} $ è il coefficiente angolare della retta.

$$ m = \frac{y-y_1}{x-x_1} $$

Esplicito la variabile y e ottengo l'equazione della retta passante per un punto (x1;y1) che ha il coefficiente angolare m.

$$ y-y_1 = \frac{m}{x-x_1} $$

$$ y = \frac{m}{x-x_1} + y_1 $$

E così via.