Le relazioni di equivalenza
Cosa sono le relazioni di equivalenza
- Le relazioni di equivalenza sono un tipo di relazioni matematiche che soddisfano la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
- Proprietà riflessiva $$ \forall \ a \ \in A \:\: aρa $$
- Proprietà simmetrica (o di simmetria) $$ \forall \ a,b \ \in A \:\: aρb \Rightarrow bρa $$
- Proprietà transitiva $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ aρb ∧ bρc \Rightarrow aρc $$
Data una relazione aρb, gli elementi a e b dell'insieme sono detti equivalenti.
$$ aρb $$
Ad esempio, l'uguaglianza (=) è una relazione di equivalenza perché rispetta tutte le proprietà
- Proprietà riflessiva $$ \forall \ a \ \in A \ \Rightarrow \: a=a $$
- Proprietà simmetrica (o di simmetria) $$ \forall \ a,b \ \in A \ | \: a=b \Rightarrow b=a $$
- Proprietà transitiva $$ \forall \ a,b,c \ \in A \ | \ a=b ∧ b=c \Rightarrow a=c $$
La differenza tra relazione di equivalenza e relazione d'ordine. Sia la relazione di equivalenza che la relazione d'ordine sono riflessive e transitive. La differenza sta nel fatto che la relazione di equivalenza soddisfa la proprietà simmetrica, mentre la relazione d'ordine soddisfa la proprietà antisimmetrica.
Un esempio pratico
Considero l'insieme delle rette del piano cartesiano e la relazione R
$$ R: \ \text{ x è parallela a y} $$
Per capire se R è una relazione di equivalenza verifico se soddisfa le tre proprietà
- La relazione R è riflessiva perché ogni retta è coincidente con se stessa. Ha la stessa direzione delle altre rette parallele.
- La relazione R è simmetrica perché se una retta x è parallela a un'altra retta y, allora la la retta y è parallela alla retta x.
- La relazione R è transitiva perché se una retta x è parallela alla retta y e quest'ultima è parallela alla retta z, allora anche le rette x e z sono parallele.
La relazione soddisfa tutte le proprietà delle relazioni di equivalenza.
Pertanto, la relazione R è una relazione di equivalenza.
Esempio 2
Considero l'insieme delle rette del piano cartesiano e la relazione R
$$ R: \ \text{ x è perpendicolare a y} $$
Per capire se R è una relazione di equivalenza verifico se soddisfa le tre proprietà
- La relazione R non è riflessiva perché una retta non può essere perpendicolare con se stessa
Pertanto, la relazione non è una relazione di equivalenza.
Nota. La relazione non è nemmeno riflessiva. Soddisfa solo la proprietà simmetrica. E' però inutile verificare anche le altre proprietà. E' sufficiente che la relazione non soddisfi una sola proprietà per affermare che non si tratta di una relazione di equivalenza.
Altri esempi sintetici
- La relazione "x è coetaneo di y" è una relazione di equivalenza.
- La relazione "x abita nello stessa casa di y" è una relazione di equivalenza
- La relazione "x ha lo stesso peso di y" è una relazione di equivalenza
- La relazione "x ha lo stesso colore di y" è una relazione di equivalenza
Le classi di equivalenza
Una relazione di equivalenza determina una partizione dell'insieme in sottoinsiemi detti classi di equivalenza.
Dove per partizione intendo la divisione dell'insieme in diversi sottoinsiemi non vuoti e disgiunti tra loro, la cui somma coincide con l'insieme di partenza.
Ogni sottoinsieme della partizione è detto classe di equivalenza.
A loro volta l'insieme delle classi di equivalenza è detto insieme quoziente.
Esempio. Considero l'insieme finito di numeri interi $$ X = \{ -5, -2,-1,3,4 \} $$ La relazione "x ha lo stesso segno di y" è una relazione di equivalenza perché è riflessiva, simmetrica e transitiva. Mi permette di suddividere l'insieme X in due sottoinsiemi, ossia classi di equivalenza, una con i numeri di segno positivo e l'altra con i numeri di segno negativo $$ C_1 = \{3,4 \} $$ $$ C_2 = \{-5,-2,-1 \} $$ I due sottoinsiemi sono disgiunti (non hanno elementi in comune) e non sono vuoti. L'unione dei due sottoinsiemi è uguale all'insieme di partenza $$ C_1 \cup C_2 = X $$ In questo caso l'insieme quoziente è un insieme finito composto da solo due elementi, le classi di equivalenza C1 e C2. $$ Q = \{ C_1, C_2 \} = \{ \ \{3,4 \} \ \ , \ \{-5,-2,-1 \} \} $$ Vale la pena sottolineare che gli elementi dell'insieme quoziente Q sono altri insiemi.
Un insieme può avere molte partizioni.
Ogni partizione è una relazione di equivalenza diversa.
Ad esempio, un insieme di oggetti può essere suddiviso in parti in base al colore, al peso, al prezzo, ecc.
E così via.
