Postulato delle parallele

Il postulato delle parallele o quinto postulato di Euclide afferma che:

Data una retta r e un punto P non appartenente alla retta, esiste una e una sola retta parallela a r che passa per il punto P.

Si tratta di un postulato perché l'unicità della retta parallela non è dedotta da altri teoremi o proprietà della retta. E' una verità accettata come tale.

Viceversa, l'esistenza della retta parallela a r che passa per il punto P può essere dimostrata tramite il teorema delle rette parallele, perché basta trovare una coppia di angoli alterni interni congruenti α≅β.

Nota. Questo postulato è noto come quinto postulato di Euclide. Tuttavia, la sua formulazione è successiva a Euclide perché è attribuita a Proclo, un matematico e filosofo bizantino vissuto nel V secolo d.C.

La dimostrazione

Considero una retta r e un punto P del piano che non appartiene alla retta.

Scelgo in punto P' appartenente alla retta.

Poi traccio una retta t passante per i punti P' e P.

La retta t forma un angolo interno alfa (α) con la retta r.

Traccio un arco con centro P' e raggio PP' che interseca la retta r nel punto A.

Centro il compasso sul punto P e con la stessa apertura (raggio PP') traccio un secondo arco che passa per il punto P'

Congiungo i punti A e P con un segmento AP.

Traccio un terzo arco con centro P' e raggio AP che interseca il secondo arco nel punto B.

Poi congiungo i punti P' e B con il segmento BP'.

Infine, disegno una retta s passante per i punti B e P.

Tra le due rette r e s si formano due triangoli APP' e BPP'

Secondo il terzo criterio di congruenza dei triangoli, i due triangoli APP' e BPP' sono congruenti perché hanno i lati della stessa lunghezza.

$$ APP' \cong BPP' $$

Essendo congruenti, i due triangoli APP' e BPP' hanno gli angoli congruenti nello stesso ordine.

Quindi, l'angolo alfa è congruente all'angolo beta.

$$ \alpha \cong \beta $$

Gli angoli alfa e beta sono angoli alterni interni congruenti (α≅β).

Quindi per il teorema delle rette parallele, le rette r e s sono rette parallele.

In questo modo ho dimostrato l'esistenza della retta s parallela alla retta r che passa per il punto P

Nota. Come già anticipato, l'unicità della retta parallela s non è dimostrabile tramite altre proprietà. Quindi, è considerata come un postulato.

Perché non si può dimostrare l'unicità?

Per secoli i matematici hanno tentato di dimostrare il quinto postulato a partire dagli altri quattro, ma invano. E' indipendente.

Nel tentativo di dimostrare che per un punto esterno a una retta passa una sola parallela (unicità), come affermava Euclide e come sembrava 'ovvio', provarono anche a modificare la regola.

Ma invece di ottenere un errore o una contraddizione, scoprirono l'esistenza di un intero universo geometrico coerente e alternativo.

Questo ha portato nel XIX secolo alla nascita delle geometrie non euclidee, in cui il quinto postulato viene sostituito da un’ipotesi diversa:

• Geometria iperbolica (Lobachevskij, Bolyai): Per un punto esterno a una retta passano infinite parallele.
  
• Geometria ellittica (Riemann): Nessuna parallela passa per un punto esterno a una retta. Ad esempio, in una sfera non esistono rette parallele perché tutte le “rette” sono cerchi massimi e si intersecano sempre.
  

L'esistenza delle geometrie non euclidee ha dimostrato che la nozione di spazio non è assoluta, e che lo spazio può essere concepito in modi alternativi e altrettanto validi, con profonde conseguenze per la matematica e la fisica.

In parole povere: il quinto postulato è il momento in cui ci si rende conto che non esiste una sola geometria “vera”, ma tante geometrie possibili, tra le quali la geometria euclidea è solo un caso particolare.

E così via.