Postulato delle parallele

Il postulato delle parallele o quinto postulato di Euclide afferma che:

Data una retta r e un punto P non appartenente alla retta, esiste una e una sola retta parallela a r che passa per il punto P.

Si tratta di un postulato perché l'unicità della retta parallela non è dedotta da altri teoremi o proprietà della retta. E' una verità accettata come tale.

Viceversa, l'esistenza della retta parallela a r che passa per il punto P può essere dimostrata tramite il teorema delle rette parallele, perché basta trovare una coppia di angoli alterni interni congruenti α≅β.

Nota. Questo postulato è noto come quinto postulato di Euclide. Tuttavia, la sua formulazione è successiva a Euclide perché è attribuita a Proclo, un matematico e filosofo bizantino vissuto nel V secolo d.C.

La dimostrazione

Considero una retta r e un punto P del piano che non appartiene alla retta.

Scelgo in punto P' appartenente alla retta.

Poi traccio una retta t passante per i punti P' e P.

La retta t forma un angolo interno alfa (α) con la retta r.

Traccio un arco con centro P' e raggio PP' che interseca la retta r nel punto A.

Centro il compasso sul punto P e con la stessa apertura (raggio PP') traccio un secondo arco che passa per il punto P'

Congiungo i punti A e P con un segmento AP.

Traccio un terzo arco con centro P' e raggio AP che interseca il secondo arco nel punto B.

Poi congiungo i punti P' e B con il segmento BP'.

Infine, disegno una retta s passante per i punti B e P.

Tra le due rette r e s si formano due triangoli APP' e BPP'

Secondo il terzo criterio di congruenza dei triangoli, i due triangoli APP' e BPP' sono congruenti perché hanno i lati della stessa lunghezza.

$$ APP' \cong BPP' $$

Essendo congruenti, i due triangoli APP' e BPP' hanno gli angoli congruenti nello stesso ordine.

Quindi, l'angolo alfa è congruente all'angolo beta.

$$ \alpha \cong \beta $$

Gli angoli alfa e beta sono angoli alterni interni congruenti (α≅β).

Quindi per il teorema delle rette parallele, le rette r e s sono rette parallele.

In questo modo ho dimostrato l'esistenza della retta s parallela alla retta r che passa per il punto P

Nota. Come già anticipato, l'unicità della retta parallela s non è dimostrabile tramite altre proprietà. Quindi, è considerata come un postulato.

E così via.