Equazione di una retta passante per l'origine

L'equazione di una retta che passa per l'origine O(0;0) del piano cartesiano è la seguente $$ y = mx $$

E' un'equazione molto semplice che deriva dall'equazione della retta in forma esplicita.

$$ y = mx + q $$

In questo caso l'intercetta sulle ordinate è nulla $ q = 0 $

$$ y = mx $$

Quindi la componente y è strettamente dipendente dal coefficiente angolare (m) e dal valore assegnato alla componente x.

$$ m = \frac{y}{x} $$

Dove il coefficiente angolare $ m $ della retta è la pendenza e indica quanto la retta è inclinata rispetto all'asse delle ascisse.

Nota. La rappresentazione y=mx è probabilmente quella più diretta e intuitiva delle rette che passano per l'origine, essendo il risultato della relazione lineare diretta tra y e x senza alcun offset verticale. Le due variabili $ x $ e $ y $ sono direttamente proporzionali perché il loro rapporto è costante  $ m = \frac{y}{x} $.

Il coefficiente angolare m può assumere qualsiasi valore reale.

• Se m>0 è positivo, la retta è inclinata verso l'alto procedendo da sinistra a destra. In questo caso l'angolo tra la retta e l'ascissa (asse x) è un angolo acuto.
• se m<0 è negativo, la retta è inclinata verso il basso. In questo caso l'angolo tra la retta e l'ascissa è un angolo ottuso.
• Se m=0 è zero, la retta è orizzontale e coincide con l'asse delle x in questo caso particolare. L'equazione della retta diventa $ y = 0 $ e l'angolo tra la retta e l'ascissa ovviamente nullo.

Inoltre, se il valore di m è indefinito la retta diventa verticale e coincide con l'asse delle ordinate.

Per rappresentare questo caso particolare si utilizza l'equazione $ x = 0 $.

Spiegazione. Quando il coefficiente angolare m è indefinito o infinito, l'equazione della retta non può più essere descritta nella forma esplicita y=mx. Per rappresentare una retta parallela all'asse y si utilizza l'equazione $ x=k $, dove k è una costante che indica la posizione della retta lungo l'asse delle ascisse. Nel caso di una retta passante per l'origine la costante è nulla k=0. Quindi, l'equazione della retta diventa $ x = 0 $.

Altri casi particolari della retta passante per l'origine si verificano quando il coefficiente angolare è unitario m=1 o m=1.

• Se m=1 la retta coincide con la bisettrice del I e del III quadrante. In questo caso l'equazione della retta diventa $ y = x $
  
• Se m=-1 la retta coincide con la bisettrice del II e del IV quadrante. In questo caso l'equazione della retta diventa $ y = -x $
  

In entrambi i casi, m=1 e m=-1, viene a formarsi un triangolo rettangolo isoscele in cui un angolo è retto (90°) e gli angoli adiacenti al lato opposto all'angolo retto sono la metà dell'angolo retto, ovvero 45°.

E così via.