Il fascio improprio di rette
Un fascio improprio di rette è l'insieme di tutte le rette nel piano parallele a una data retta r.
Un fascio improprio di rette è composto da infinite rette parallele.
In genere, per rappresentarlo graficamente se ne indicano soltanto alcune a titolo di esempio.
La trasversale del fascio di rette improprio
La trasversale del fascio di rette è una retta che interseca tutte le rette parallele nel fascio di rette improprio.
Ad esempio, la retta r è una trasversale del fascio di rette.
Quando due trasversali distinte intersecano un fascio di rette improprio, i punti di intersezione delle trasversali con le rette parallele sono detti punti corrispondenti.
Ad esempio, i punti A e A' sono due punti corrispondenti.
I segmenti che hanno come estremi due punti corrispondenti della stessa trasversale sono detti segmenti corrispondenti.
Ad esempio, i segmenti AB e BC sono due segmenti corrispondenti.
Allo stesso modo sono due segmenti corrispondenti i segmenti A'B' e B'C' della seconda trasversale.
In base al Teorema di Talete, quando un fascio di rette parallele interseca due rette trasversali, si instaura una proporzionalità diretta tra i segmenti corrispondenti di una trasversale e quelli dell'altra trasversale.
Ad esempio, il segmento AB sta al segmento CD come il segmento A'B' sta al segmento C'D'
$$ AB:CD = A'B':C'D' $$
Questa proporzionalità diretta è detta corrispondenza di Talete.
L'equazione cartesiana del fascio improprio di rette
L'equazione cartesiana del fascio improprio di rette è la seguente
$$ ax + by + c = 0 $$
Dove a, b sono i coefficienti della retta e sono sempre diversi da zero.
Ogni retta del fascio è caratterizzata da un valore specifico del termine noto c che determina la posizione e la distanza della retta rispetto alle rette parallele.
Nel caso particolare in cui il termine noto è nullo (c=0) la retta passa per l'origine del piano cartesiano ossia nel punto alle coordinate (x;y)=(0;0).
Nota. Anche la retta principale r, quella a cui tutte le altre rette sono parallele, ha un valore specifico e unico del termine noto c .
L'equazione in forma esplicita
In alternativa, la retta può anche essere espressa in forma esplicita come:
$$ y = mx + q $$
Ogni retta del fascio ha un valore unico di q.
Se q=0, la retta interseca l'origine.
Nota. Il termine q rappresenta l'intercetta sull'asse y al punto x=0.
L'equazione parametrica
Un'altra rappresentazione è data dall'equazione parametrica
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$
Dove la combinazione (x0,y0) varia per ogni retta nel fascio, mentre il vettore direttore (l,m) rimane costante.
Esempio
Data la retta:
$$ 2x +3y - 12 = 0 $$
Variando c si generano rette parallele nel fascio improprio.
In forma parametrica, la stessa retta è rappresentata come:
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} l \\ m \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} $$
Modificando l'intercetta (0,4) e mantenendo invariato il vettore direttore, si generano tutte le rette del fascio.
