Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data una funzione continua nell'intervallo [a,b], la funzione integrale F(x) $$ F(x) = \int_a^x f(t) \: dt = $$ è derivabile e la derivata vale f(x) $$ D[F(x)]= f(x) $$
La funzione F(x) è detta funzione primitiva di f(x).
Il teorema fondamentale del calcolo integrale definisce una relazione tra integrali e derivate
Un esempio pratico
Nell'intervallo [0,x] l'integrale della funzione 2t è x2
$$ F(x) = \int_0^x 2t \: dt = x^2 $$
La funzione integranda f(x) è
$$ f(x) = 2x $$
La funzione integrale F(x) è
$$ F(x)=x^2 $$
La derivata della funzione integrale F'(x) è
$$ F'(x)=D[x^2]=2x $$
Quindi, la derivata della funzione integrale F'(x) è uguale alla funzione integranda f(t) calcolata per t=x.
$$ F'(x)=f(x) $$
Questa proprietà vale in generale per tutte le funzioni f(x) continue in un intervallo [a,b].
Dimostrazione e spiegazione
Per ottenere la derivata della funzione integrale devo calcolare il limite del rapporto incrementale della funzione primitiva F(x) per h→0
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot [ F(x+h)-F(x) ] $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot [ \int_a^{x+h} f(t) \:dt - \int_a^{x} f(t) \:dt ] $$
Per la proprietà additiva degli integrali rispetto all'intervallo, posso suddividere l'intervallo di integrazione [a,x+h] in due partizioni [a,x] e [x, x+h].
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot [ \int_a^{x} f(t) \:dt + \int_x^{x+h} f(t) \:dt - \int_a^{x} f(t) \:dt ] $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot [ \int_x^{x+h} f(t) \:dt ] $$
Nota. Secondo il teorema della media dell'integrale in una funzione f(x) continua nell'intervallo [a,b] esiste un punto x0∈[a,b] tale che $$ \int_a^b f(t) \:dt = f(x_0) \cdot (b-a) $$ Quindi $$ \int_x^{x+h} f(t) \:dt = f(x_0) \cdot ((x+h)-x) $$ Quindi $$ \int_x^{x+h} f(t) \:dt = f(x_0) \cdot (h) $$ Ora, calcolando il limite per h→0 il valore di h(x) tende a x.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \cdot f(x_0) \cdot (h) $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x_0) $$
Il punto x0 dipende dall'incremento h perché x0∈(x,x+h).
Quindi il limite per h→0 fa tendere x0 a x.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x_0) = f(x) $$
Questo dimostra la relazione tra la funzione integranda f(x) e la derivata della funzione integrale F(x).
E così via.
