Esercizio Integrale di 1/tan^2(x) dx

Devo calcolare l'integrale

$$ \int \frac{1}{\tan^2(x)} \ dx $$

Questo integrale posso risolverlo trasformando la funzione in termini di funzioni trigonometriche più semplici.

Ad esempio, per il secondo principio della trigonometria la funzione tangente, \(\tan(x)\), posso esprimerla come il rapporto tra seno e coseno, quindi \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).

Di conseguenza, \( \frac{1}{\tan^2(x)} \) posso riscriverla come \( \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \).

$$ \int \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \ dx $$

Ora la funzione \( \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \) posso ulteriormente semplificarla usando l'identità trigonometrica \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \).

Sostituendo \( \cos^2(x) \) con \( 1 - \sin^2(x) \), ottengo:

$$ \int \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx $$

$$ \int \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx $$

Separo questa espressione in due integrali:

$$ \int \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx - \int \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} \, dx $$

$$ \int \frac{1}{\sin^2(x)} \, dx - \int 1 \, dx $$

L'integrale di \( \frac{1}{\sin^2(x)} \) è noto e corrisponde a \( -\cot(x) \), mentre l'integrale di 1 è semplicemente \( x \).

Quindi, la soluzione dell'integrale l'integrale è la seguente

$$ -\cot(x) - x + C $$

Dove \( C \) è la costante di integrazione. Questo è il risultato dell'integrale di \( \frac{1}{\tan^2(x)} \).

$$ \int \frac{1}{\tan^2(x)} \ dx = -\cot(x) - x + C $$

E così via.