Esercizio calcolo integrale 8

Devo risolvere l'integrale

$$ \int \frac{1}{(1+x)x} \ dx $$

Semplifico la funzione integranda tramite la tecnica della deframmentazione in fratti semplici.

Il polinomio al denominatore ha molteplicità pari a uno. Quindi posso scrivere la funzione integranda in questo modo

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{A}{(1+x)} + \frac{B}{x} $$

Dove A e B sono termini ancora da calcolare

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{Ax+B(1+x)}{(1+x)x} $$

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{Ax+B+Bx}{(1+x)x} $$

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{B+x(A+B)}{(1+x)x} $$

Per l'identità dei polinomi eguaglio i coefficienti dei numeratori.

$$ \begin{cases} B = 1 \\ \\ A+B = 0 \end{cases} $$

Spiegazione. Nel primo membro il coefficiente della x1 è zero perché non c'è l'incognita x mentre al secondo membro è A+B. Quindi eguagliando i coefficienti ottengo A+B=0. Il coefficiente della x0=1 al primo membro è 1 mentre al secondo membro è B. Quindi eguagliando i coefficienti ottengo B=1.

$$ \begin{cases} B = 1 \\ \\ A = -B \end{cases} $$

$$ \begin{cases} B = 1 \\ \\ A = -1 \end{cases} $$

Una volta trovati i termini A=-1 e B=1 li sostituisco nella funzione integranda

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{A}{(1+x)} + \frac{B}{x} $$

$$ \frac{1}{(1+x)x} = \frac{-1}{(1+x)} + \frac{1}{x} $$

Quindi posso riscrivere l'integrale iniziale in questo modo

$$ \int \frac{1}{(1+x)x} \ dx = \int \frac{-1}{(1+x)} + \frac{1}{x} \ dx $$

Il prodotto al denominatore è stato sostituito con un addizione.

Questo mi permette di suddividere l'integrale in una somma di integrali.

$$ \int \frac{-1}{(1+x)} + \frac{1}{x} \ dx $$

$$ - \int \frac{1}{(1+x)} \ dx + \int \frac{1}{x} \ dx $$

Ora gli integrali sono elementari e facilmente calcolabili.

Il primo integrale è il logaritmo di 1+x

$$ - \log (1+x) + c + \int \frac{1}{x} \ dx $$

Il secondo integrale è il logaritmo di x

$$ - \log (1+x) + c + \log (x) $$

Pertanto, la soluzione dell'integrale è

$$ \log(x)- \log (1+x) + c $$

E così via.

 


 

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