La decomposizione in fratti semplici
La decomposizione in fratti semplici (frazioni semplici) di una funzione razionale mi permette di riscrivere la funzione come somma di frazioni.
Questa tecnica è particolarmente utile per semplificare il calcolo di un integrale.
Un esempio pratico
In questo esempio considero l'espressione
$$ \frac{1}{x^3-3x^2+2x} $$
Il denominatore posso riscriverlo mettendo in evidenza la x
$$ \frac{1}{x \cdot (x^2-3x+2)} $$
Il denominatore ha tre radici 0, 1, 2
Applico il metodo di Ruffini per semplificare il denominatore
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -3 & 2 & 0 \\ 1 & & 1 & -2 & 0 \\
\hline & 1 & -2 & 0 & 0 \end{array} $$
Quindi, il denominatore x3-3x2+2x posso riscriverlo in questo modo
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot (x^2-2x)} $$
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} $$
Riscrivo l'espressione separando i fattori al denominatore in fratti semplici.
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} $$
Dove i parametri A, B, C sono ignoti.
Sono ancora da calcolare.
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{A \cdot (x-1) \cdot (x-2) + B \cdot x \cdot (x-2) + C \cdot (x) \cdot (x-1)}{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)} $$
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{Ax^2-2Ax-Ax+2A + Bx^2 -2Bx + Cx^2 - Cx}{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)} $$
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{x^2 \cdot (A+ B+ C) + x (-2A-A-2B-C)+x^0(2A) }{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)} $$
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{x^2 \cdot (A+ B+ C) + x (-3A-2B-C)+2A }{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)} $$
Per l'identità dei polinomi eguaglio i coefficienti delle potenze dell'incognita x al numeratore
$$ \begin{cases} A+B+C=0 \\ \\ -3A-2B-C=0 \\ \\ 2A=1 \end{cases} $$
Spiegazione. Nel primo membro la x2 ha per coefficiente A+B+C mentre al secondo è assente, ossia ha coefficiente pari a 0. Quindi la prima equazione del sistema è A+B+C=0. Nel primo membro l'incognita x1 ha per coefficiente (-3A-2B-C) mentre al secondo è assente, ossia ha coefficiente pari a 0. Quindi la seconda equazione del sistema è -3A-2B-C=0. Nel primo membro l'incognita x0 ossia 1 ha per coefficiente 2A mentre al secondo membro ha per coefficiente 1. Quindi, la terza equazione del sistema è 2A=1.
Risolvo il sistema usando il metodo della sostituzione
$$ \begin{cases} (\frac{1}{2})+B+C=0 \\ \\ -3(\frac{1}{2})-2B-C=0 \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \frac{1}{2}+B+( -\frac{3}{2}-2B ) =0 \\ \\ C=-\frac{3}{2}-2B \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -B +\frac{1-3}{2} =0 \\ \\ C=-\frac{3}{2}-2B \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -B -1 = 0 \\ \\ C=-\frac{3}{2}-2B \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B =-1 \\ \\ C=-\frac{3}{2}-2(-1) \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B =-1 \\ \\ C=-\frac{3}{2}+2 \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B =-1 \\ \\ C=\frac{-3+4}{2} \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} B =-1 \\ \\ C=\frac{1}{2} \\ \\ A=\frac{1}{2} \end{cases} $$
Una volta trovati i termini A=1/2, B=-1, C=1/2 li sostituisco nei fratti semplici
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} $$
$$ \frac{1}{(x-1) \cdot x \cdot (x-2)} = \frac{ \frac{1}{2} }{x} + \frac{-1}{x-1} + \frac{ \frac{1}{2} }{x-2} $$
Questo mi permette di riscrivere la funzione fratta iniziale sotto forma di fratti semplici
$$ \frac{ \frac{1}{2} }{x} + \frac{-1}{x-1} + \frac{ \frac{1}{2} }{x-2} $$
A cosa serve? La scomposizione in fratti semplici è molto utile per semplificare il calcolo di un integrale. La funzione integranda equivalente riscritta tramite i fratti semplici $$ \int \frac{ \frac{1}{2} }{x} + \frac{-1}{x-1} + \frac{ \frac{1}{2} }{x-2} \ dx $$ mi permette di sostituire l'integrale con una somma di integrali molto più semplici da risolvere $$ \int \frac{ \frac{1}{2} }{x} \ dx + \int \frac{-1}{x-1} \ dx + \int \frac{ \frac{1}{2} }{x-2} \ dx $$ $$ \frac{1}{2} \int \frac{ 1 }{x} \ dx - \int \frac{1}{x-1} \ dx + \frac{1}{2} \int \frac{ 1 }{x-2} \ dx $$ $$ \frac{1}{2} \log | x | - \log |x-1| + \frac{1}{2} \log |x| + c $$
E così via
