Molteplicità di una radice
La molteplicità di una radice \( r \) di un polinomio \( P(x) \) è il numero intero positivo \( n \) tale che $$ P(x) = (x-r)^n Q(x) $$ dove \( Q(x) \) è un polinomio e \( Q(r) \neq 0 \).
In pratica, la molteplicità della radice \( r \) mi dice quante volte posso dividere il polinomio \( P(x) \) per \( (x-r) \).
Un esempio pratico
Considero il polinomio
$$ x^3-x^2-2x $$
Cerco le radici del polinomio
$$ x \cdot (x^2-x-2) $$
Una radice è \( r_1 = 0 \) in quanto il primo fattore \( x = 0 \) annulla il polinomio.
Le altre due radici le ottengo dal secondo fattore \( x^2 - x - 2 \):
$$ r_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \begin{cases} r_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = -1 \\ \\ r_3 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2 \end{cases} $$
Considero la radice r=2 per semplificare il polinomio x2-x-2 con il metodo di Ruffini
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -1 & -2 \\ 2 & & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 0 \end{array} $$
Quindi, il polinomio semplificato è
$$ x^2-x-2 = (x-2) \cdot (x+1) $$
Il polinomio iniziale diventa
$$ x \cdot (x^2-x-2) = x \cdot (x-2) \cdot (x+1) $$
Il polinomio può essere diviso per \( (x - 2)^1 \), dove l'esponente è \( n = 1 \).
Quindi, la molteplicità della radice \( r = 2 \) nel polinomio iniziale è pari a uno.
E così via.
