MolteplicitÓ di una radice

La molteplicità di una radice r di un polinomio P(x) è il numero intero positivo n tale che $$ P(x) = \frac{Q(x)}{(x-r)^n}$$ dove P(x) e Q(x) sono due polinomi.

In pratica la molteplicità della radice mi dice quante volte posso dividere il polinomio P(x) per x-r

    Un esempio pratico

    Considero il polinomio

    $$ x^3-x^2-2x $$

    Cerco le radici del polinomio

    $$ x \cdot (x^2-x-2) $$

    Una radice è r1=0 in quanto il primo fattore x=0 annulla anche il secondo.

    Le altre due radici le ottengo dal secondo fattore x2-x-2, sono r2=-1 e r3=2

    $$ r_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \begin{cases} r_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = -1 \\ \\ r_3 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2 \end{cases} $$

    Considero la radice r=2 per semplificare il polinomio x2-x-2 con il metodo di Ruffini

    $$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -1 & -2 \\ 2 & & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 0 \end{array} $$

    Quindi, il polinomio semplificato è

    $$ x^2-x-2 = (x-2) \cdot (x+1) $$

    Il polinomio iniziale diventa

    $$ x \cdot (x^2-x-2) = x \cdot (x-2) \cdot (x+1) $$

    Il polinomio può essere diviso da (x-r)n = (x-2)1 dove l'esponente è pari a n=1

    Quindi, la molteplicità del polinomio iniziale è pari a uno.

    E così via.

     


     

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