Molteplicità di una radice
La molteplicità di una radice r di un polinomio P(x) è il numero intero positivo n tale che $$ P(x) = \frac{Q(x)}{(x-r)^n}$$ dove P(x) e Q(x) sono due polinomi.
In pratica la molteplicità della radice mi dice quante volte posso dividere il polinomio P(x) per x-r
Un esempio pratico
Considero il polinomio
$$ x^3-x^2-2x $$
Cerco le radici del polinomio
$$ x \cdot (x^2-x-2) $$
Una radice è r1=0 in quanto il primo fattore x=0 annulla anche il secondo.
Le altre due radici le ottengo dal secondo fattore x2-x-2, sono r2=-1 e r3=2
$$ r_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \begin{cases} r_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = -1 \\ \\ r_3 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2 \end{cases} $$
Considero la radice r=2 per semplificare il polinomio x2-x-2 con il metodo di Ruffini
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -1 & -2 \\ 2 & & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 0 \end{array} $$
Quindi, il polinomio semplificato è
$$ x^2-x-2 = (x-2) \cdot (x+1) $$
Il polinomio iniziale diventa
$$ x \cdot (x^2-x-2) = x \cdot (x-2) \cdot (x+1) $$
Il polinomio può essere diviso da (x-r)n = (x-2)1 dove l'esponente è pari a n=1
Quindi, la molteplicità del polinomio iniziale è pari a uno.
E così via.